Упр.916 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. а) Принадлежит ли интервалу $$(-4; 6{,}5)$$ число: $$-3$$; $$-5$$; $$5$$; $$6{,}5$$; $$-3{,}9$$; $$-4{,}1$$?
   б) Принадлежит ли отрезку $$[-8; -5]$$ число: $$-9$$; $$-8$$; $$-5{,}5$$; $$-5$$; $$-6$$; $$-7{,}5$$?
2. Докажите неравенство:
   а) $$(x + 1)^2 > 4x$$;
   б) $$(3b + 1)^2 > 6b$$;
   в) $$4(x + 2) < (x + 3)^2 - 2x$$;
   г) $$1 + (m + 2)^2 > 3(2m — 1)$$.

1. Интервалу $$(-4; 6{,}5)$$ принадлежат числа, которые больше $$-4$$ и меньше $$6{,}5$$.

   Проверим данные числа:

   $$-3,\ -5,\ 5,\ 6{,}5,\ -3{,}9,\ -4{,}1.$$

   Подходят числа $$-3,\ 5,\ -3{,}9$$.

2. Отрезку $$[-8; -5]$$ принадлежат числа, которые не меньше $$-8$$ и не больше $$-5$$.

   Проверим данные числа:

   $$-9,\ -8,\ -5{,}5,\ -5,\ -6,\ -7{,}5.$$

   Подходят числа $$-8,\ -5,\ -6,\ -7{,}5$$.

3. Докажем неравенство $$\left(x+1\right)^2>4x$$.

   $$\left(x+1\right)^2-4x=x^2+2x+1-4x=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge 0.$$

   Значит, $$\left(x+1\right)^2\ge 4x$$. При этом равенство возможно при $$x=1$$.

4. Докажем неравенство $$\left(3b+1\right)^2>6b$$.

   $$\left(3b+1\right)^2-6b=9b^2+6b+1-6b=9b^2+1>0.$$

   Следовательно, $$\left(3b+1\right)^2>6b$$ при любом $$b$$.

5. Докажем неравенство $$4\left(x+2\right)<\left(x+3\right)^2-2x$$.

   $$\left(x+3\right)^2-2x-4\left(x+2\right)=x^2+6x+9-2x-4x-8=x^2+1>0.$$

   Значит, $$4\left(x+2\right)<\left(x+3\right)^2-2x$$ при любом $$x$$.

6. Докажем неравенство $$1+\left(m+2\right)^2>3\left(2m-1\right)$$.

   $$1+\left(m+2\right)^2-3\left(2m-1\right)=1+m^2+4m+4-6m+3=m^2-2m+8.$$

   $$m^2-2m+8=\left(m-1\right)^2+7>0.$$

   Следовательно, неравенство верно при любом $$m$$.

Ответ

а) $$-3,\ 5,\ -3{,}9$$;
б) $$-8,\ -5,\ -6,\ -7{,}5$$;
а) верно при любом $$x$$, равенство при $$x=1$$;
б) верно при любом $$b$$;
в) верно при любом $$x$$;
г) верно при любом $$m$$.