Упр.913 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1/ корень a < корень (a+1) - корень (a-1).

а) На рисунке изображены:

1. $$[-2;6]$$
2. $$[-1;+\infty)$$
3. $$(-1;7)$$
4. $$(-\infty;4]$$

Обозначим их соответственно: а) $$[-2;6]$$, б) $$[-1;+\infty)$$, в) $$(-1;7)$$, г) $$(-\infty;4]$$.

б) Докажем неравенство при $$a>1$$:

$$\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}.$$

Так как $$a>1$$, то все выражения определены и положительны. Умножим обе части на $$\sqrt{a}$$:

$$1 < \sqrt{a}\bigl(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\bigr).$$

Рассмотрим разность корней:

$$\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}=\frac{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}$$

$$=\frac{(a+1)-(a-1)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}.$$

Тогда

$$\sqrt{a}\bigl(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\bigr)=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{2}\le \sqrt{(a+1)(a-1)}=\sqrt{a^2-1}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\le 2\sqrt{a^2-1}<2\sqrt{a^2}=2a,$$

так как $$a>1$$. Значит,

$$\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}>\frac{2\sqrt{a}}{2a}=\frac{1}{\sqrt{a}}.$$

Итак,

$$\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}.$$

Ответ

а) $$[-2;6]$$; б) $$[-1;+\infty)$$; в) $$(-1;7)$$; г) $$(-\infty;4]$$. При $$a>1$$ неравенство $$\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$$ верно.