Упр.912 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (3; 7);
б) [1; 6];
в) (-бесконечность; 5);
г) [12; +бесконечность);
д) (-бесконечность; 3];
е) (15; +бесконечность). Докажите, что если х + у + z = 1, то
корень (4x + 1) + корень (4y + 1) + корень (4z + 1) <= 5.

а) $$\left(3;7\right)$$ — интервал.

б) $$\left[1;6\right]$$ — отрезок.

в) $$\left(-\infty;5\right)$$ — открытый числовой луч.

г) $$\left[12;+\infty\right)$$ — числовой луч.

д) $$\left(-\infty;3\right]$$ — числовой луч.

е) $$\left(15;+\infty\right)$$ — открытый числовой луч.

Докажем неравенство $$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5$$ при $$x+y+z=1$$.

По неравенству $$\sqrt{t}\le \dfrac{t+1}{2}$$ при $$t\ge 0$$ имеем:

$$ \sqrt{4x+1}\le \frac{(4x+1)+1}{2}=2x+1, $$
$$ \sqrt{4y+1}\le 2y+1, $$
$$ \sqrt{4z+1}\le 2z+1. $$

Складывая, получаем:

$$ \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le (2x+1)+(2y+1)+(2z+1) $$
$$ =2(x+y+z)+3=2\cdot 1+3=5. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5. $$

Ответ

а) интервал; б) отрезок; в) открытый числовой луч; г) числовой луч; д) числовой луч; е) открытый числовой луч.
$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5.$$