Упр.912 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его: а) $$(3;7)$$; б) $$[1;6]$$; в) $$(-\infty;5)$$; г) $$[12;+\infty)$$; д) $$(-\infty;3]$$; е) $$(15;+\infty)$$.
2. Докажите, что если $$x+y+z=1$$, то $$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\leq 5$$.

а) $$\left(3;7\right)$$ — интервал.

б) $$\left[1;6\right]$$ — отрезок.

в) $$\left(-\infty;5\right)$$ — открытый числовой луч.

г) $$\left[12;+\infty\right)$$ — числовой луч.

д) $$\left(-\infty;3\right]$$ — числовой луч.

е) $$\left(15;+\infty\right)$$ — открытый числовой луч.

Докажем неравенство $$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5$$ при $$x+y+z=1$$.

По неравенству $$\sqrt{t}\le \dfrac{t+1}{2}$$ при $$t\ge 0$$ имеем:

$$\sqrt{4x+1}\le \frac{(4x+1)+1}{2}=2x+1,$$
$$\sqrt{4y+1}\le 2y+1,$$
$$\sqrt{4z+1}\le 2z+1.$$

Складывая, получаем:

$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)$$
$$=2(x+y+z)+3=2\cdot 1+3=5.$$

Следовательно,

$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5.$$

Ответ

а) интервал; б) отрезок; в) открытый числовой луч; г) числовой луч; д) числовой луч; е) открытый числовой луч.
$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5.$$