Упр.911 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:
а) $$[-2; 4]$$;
б) $$(-3; 3)$$;
в) $$[0; 5]$$;
г) $$(-4; 0)$$;
д) $$(3; +\infty)$$;
е) $$[2; +\infty)$$;
ж) $$(-\infty; 4]$$;
з) $$(-\infty; -1)$$;
и) $$(-\infty; +\infty)$$. - Докажите, что при $$a > 0$$, $$b > 0$$, $$c > 0$$ верно неравенство $$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}$$.
а) $$[-2;4]$$ — отрезок.
б) $$(-3;3)$$ — интервал.
в) $$[0;5]$$ — отрезок.
г) $$(-4;0)$$ — интервал.
д) $$\left(3;+\infty\right)$$ — открытый числовой луч.
е) $$\left[2;+\infty\right)$$ — числовой луч.
ж) $$\left(-\infty;4\right]$$ — числовой луч.
з) $$\left(-\infty;-1\right)$$ — открытый числовой луч.
и) $$\left(-\infty;+\infty\right)$$ — множество всех чисел.
Докажем неравенство:
$$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}, \qquad a>0,\ b>0,\ c>0.$$
Так как $$a,b,c>0$$, то
$$a+b+c > a+b,\qquad a+b+c > b+c,\qquad a+b+c > c+a.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b},\qquad \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c},\qquad \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{c+a}.$$
Складывая эти неравенства, получаем:
$$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$$
Ответ
а) отрезок; б) интервал; в) отрезок; г) интервал; д) открытый числовой луч; е) числовой луч; ж) числовой луч; з) открытый числовой луч; и) множество всех чисел.
$$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$$
