Упр.911 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) [-2; 4];
б) (-3; 3);
в) [0; 5];
г) (-4; 0);
д) (3; +бесконечность);
е) [2; +бесконечность);
ж) (-бесконечность; 4];
з) (-бесконечность; -1);
и) (-бесконечность; +бесконечность). Докажите, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство
3/(a+b+c) < 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a).

а) $$[-2;4]$$ — отрезок.

б) $$(-3;3)$$ — интервал.

в) $$[0;5]$$ — отрезок.

г) $$(-4;0)$$ — интервал.

д) $$\left(3;+\infty\right)$$ — открытый числовой луч.

е) $$\left[2;+\infty\right)$$ — числовой луч.

ж) $$\left(-\infty;4\right]$$ — числовой луч.

з) $$\left(-\infty;-1\right)$$ — открытый числовой луч.

и) $$\left(-\infty;+\infty\right)$$ — множество всех чисел.

Докажем неравенство:

$$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}, \qquad a>0,\ b>0,\ c>0.$$

Так как $$a,b,c>0$$, то

$$a+b+c > a+b,\qquad a+b+c > b+c,\qquad a+b+c > c+a.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b},\qquad \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c},\qquad \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{c+a}.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$$

Ответ

а) отрезок; б) интервал; в) отрезок; г) интервал; д) открытый числовой луч; е) числовой луч; ж) числовой луч; з) открытый числовой луч; и) множество всех чисел.

$$\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$$