Упр.910 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

корень (a+c)(b+d) >= корень ab + корень cd,
если a>0, b>0, c>0, d>0.

Пусть $$x$$ га — площадь первого хозяйства, тогда $$x+1$$ га — площадь второго.

Тогда урожайность первого хозяйства равна $$\frac{180}{x}$$, а второго — $$\frac{160}{x+1}$$.

По условию в первом хозяйстве урожайность на 2 ц с гектара больше, чем во втором, значит:

$$\frac{180}{x}-\frac{160}{x+1}=2$$

Умножим обе части на $$x(x+1)$$:

$$ 180(x+1)-160x=2x(x+1) $$
$$ 180x+180-160x=2x^2+2x $$
$$ 2x^2-18x-180=0 $$
$$ x^2-9x-90=0 $$

Найдём корни уравнения:

$$ D=81+360=441,\quad \sqrt{D}=21 $$
$$ x_1=\frac{9-21}{2}=-6,\quad x_2=\frac{9+21}{2}=15 $$

Так как площадь не может быть отрицательной, подходит только $$x=15$$.

Тогда площадь второго хозяйства:

$$15+1=16$$

Урожайность первого хозяйства:

$$\frac{180}{15}=12$$

Урожайность второго хозяйства:

$$\frac{160}{16}=10$$

Докажем неравенство:

$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd},\quad a>0,\ b>0,\ c>0,\ d>0.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, это допустимо:

$$ (a+c)(b+d)\ge (\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2 $$
$$ ab+ad+bc+cd\ge ab+cd+2\sqrt{abcd} $$
$$ ad+bc\ge 2\sqrt{abcd} $$

Но по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$ \frac{ad+bc}{2}\ge \sqrt{ad\cdot bc}=\sqrt{abcd} $$

Следовательно,

$$ ad+bc\ge 2\sqrt{abcd} $$

Значит,

$$ \sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}. $$

Ответ

Урожайность первого хозяйства — 12 ц/га, второго — 10 ц/га.

Неравенство доказано.