Упр.909 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение.
2. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.

Пусть $$a>0$$ и $$b>0$$. Рассмотрим разность полусуммы кубов и куба полусуммы:

$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 = \frac{4a^3+4b^3-(a+b)^3}{8}.$$

Раскроем куб суммы:

$$\frac{4a^3+4b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)}{8} = \frac{3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3}{8}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{3(a^3-a^2b-ab^2+b^3)}{8} = \frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}.$$

Так как $$a>0$$, $$b>0$$, то $$a+b>0$$ и $$(a-b)^2\ge 0$$. Значит,

$$\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\ge 0,$$
то есть

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\le \frac{a^3+b^3}{2}.$$

Ответ

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\le \frac{a^3+b^3}{2}.$$