Упр.908 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

y = (x — 8)^2 — (x + 8)^2
является прямой пропорциональностью. Докажите, что:
а) (a+b)/c + (b+c)/a + (a+c)/b >=6, если а > О, b > 0, с > 0;
б) (1 + а)(1 + b)(1 + с) > 24, если а>0, b >0, с>0 и abc = 9.

1) Преобразуем выражение:

$$ y=(x-8)^2-(x+8)^2 $$

$$ y=x^2-16x+64-(x^2+16x+64)=-32x $$

Получили функцию вида $$y=kx$$, где $$k=-32\neq 0$$. Значит, данная функция является прямой пропорциональностью.

2) Докажем неравенство

$$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6,\qquad a>0,\ b>0,\ c>0. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{abc}\ge 6 $$

$$ a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge 6abc $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc $$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$ b(a^2+c^2)\ge 2abc,\qquad a(b^2+c^2)\ge 2abc,\qquad c(a^2+b^2)\ge 2abc $$

Складывая, получаем:

$$ b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc $$

Следовательно,

$$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6. $$

3) Докажем, что

$$ (1+a)(1+b)(1+c)>24,\qquad a>0,\ b>0,\ c>0,\ abc=9. $$

По неравенству AM-GM:

$$ 1+a\ge 2\sqrt{a},\qquad 1+b\ge 2\sqrt{b},\qquad 1+c\ge 2\sqrt{c} $$

Тогда

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{abc}=8\sqrt{9}=24. $$

Равенство возможно при $$a=b=c=1+\dots$$, но при $$abc=9$$ и положительных $$a,b,c$$ получаем требуемое неравенство. Значит,

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 24. $$

Ответ

Функция $$y=(x-8)^2-(x+8)^2$$ является прямой пропорциональностью: $$y=-32x$$.
$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6.$$
$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 24. $$