Упр.908 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция, заданная формулой $$y=(x-8)^2-(x+8)^2$$, является прямой пропорциональностью.
2. Докажите, что:
   а) $$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$;
   б) $$(1+a)(1+b)(1+c)>24$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$ и $$abc=9$$.

1) Преобразуем выражение:

$$y=(x-8)^2-(x+8)^2$$

$$y=x^2-16x+64-(x^2+16x+64)=-32x$$

Получили функцию вида $$y=kx$$, где $$k=-32\neq 0$$. Значит, данная функция является прямой пропорциональностью.

2) Докажем неравенство

$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6,\qquad a>0,\ b>0,\ c>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{abc}\ge 6$$

$$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge 6abc$$

Сгруппируем слагаемые:

$$b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$b(a^2+c^2)\ge 2abc,\qquad a(b^2+c^2)\ge 2abc,\qquad c(a^2+b^2)\ge 2abc$$

Складывая, получаем:

$$b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc$$

Следовательно,

$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6.$$

3) Докажем, что

$$(1+a)(1+b)(1+c)>24,\qquad a>0,\ b>0,\ c>0,\ abc=9.$$

По неравенству AM-GM:

$$1+a\ge 2\sqrt{a},\qquad 1+b\ge 2\sqrt{b},\qquad 1+c\ge 2\sqrt{c}$$

Тогда

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{abc}=8\sqrt{9}=24.$$

Равенство возможно при $$a=b=c=1+\dots$$, но при $$abc=9$$ и положительных $$a,b,c$$ получаем требуемое неравенство. Значит,

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 24.$$

Ответ

Функция $$y=(x-8)^2-(x+8)^2$$ является прямой пропорциональностью: $$y=-32x$$.
$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6.$$
$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 24.$$