Упр.907 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) X — множество простых чисел, У — множество составных чисел;
б) X — множество целых чисел, кратных 5, У — множество целых чисел, кратных 15. Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (а + b)(аb + 16) >= 16аb;
б) (а2 + 4b)(4b + 25) >= 80аb.

а) Простые числа и составные числа не имеют общих элементов, значит

$$X \cap Y = \varnothing.$$

Любое простое или составное число является натуральным числом, поэтому

$$X \cup Y = Z.$$

б) Все числа, кратные $15$, кратны и $5$, значит множество $Y$ является подмножеством множества $X$.

Следовательно,

$$X \cap Y = Y,$$

$$X \cup Y = X.$$

а) Докажем неравенство

$$ (a+b)(ab+16)\ge 16ab. $$

Так как $a>0$ и $b>0$, то по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},$$

$$\frac{ab+16}{2}\ge \sqrt{16ab}=4\sqrt{ab}.$$

Тогда

$$ (a+b)(ab+16)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 8\sqrt{ab}=16ab. $$

б) Докажем неравенство

$$ (a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab. $$

Снова применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{a^2+4b}{2}\ge \sqrt{a^2\cdot 4b}=2a\sqrt{b},$$

$$\frac{4b+25}{2}\ge \sqrt{4b\cdot 25}=10\sqrt{b}.$$

Тогда

$$ (a^2+4b)(4b+25)\ge 4a\sqrt{b}\cdot 20\sqrt{b}=80ab. $$

Ответ

а) $$X\cap Y=\varnothing,\quad X\cup Y=Z.$$

б) $$X\cap Y=Y,\quad X\cup Y=X.$$

$$ (a+b)(ab+16)\ge 16ab, \qquad (a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab. $$