Упр.906 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Для работы в парах. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами $$A$$ и $$B$$ и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:
а) $$A$$ — множество целых чисел, кратных $$3$$, $$B$$ — множество целых чисел, кратных $$5$$;
б) $$A$$ — множество целых чисел, кратных $$3$$, $$B$$ — множество целых чисел, кратных $$15$$.
1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств $$A$$ и $$B$$.
3) Исправьте ошибки, если они допущены. - Докажите, что если $$x>0$$ и $$y>0$$, то:
а) $$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\geq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$;
б) $$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$$.
а) Пусть
$$A=\{\,\text{целые числа, кратные }3\,\}, \qquad B=\{\,\text{целые числа, кратные }5\,\}.$$
Тогда общими для множеств $$A$$ и $$B$$ будут числа, кратные и $$3$$, и $$5$$, то есть кратные $$15$$:
$$A\cap B=\{\,\text{целые числа, кратные }15\,\}.$$
Объединение состоит из всех целых чисел, кратных $$3$$ или $$5$$:
$$A\cup B=\{\,\text{целые числа, кратные }3 \text{ или } 5\,\}.$$
б) Пусть
$$A=\{\,\text{целые числа, кратные }3\,\}, \qquad B=\{\,\text{целые числа, кратные }15\,\}.$$
Так как каждое число, кратное $$15$$, кратно и $$3$$, то
$$B\subset A.$$
Следовательно,
$$A\cap B=B,$$
$$A\cup B=A.$$
Доказательство неравенств.
а) Докажем, что
$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac1x+\frac1y, \qquad x>0,\ y>0.$$
Умножим обе части на положительное число $$x^2y^2$$:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2.$$
Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:
$$x^3+y^3-x^2y-xy^2=x(x^2-y^2)-y(x^2-y^2)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y).$$
Так как $$x>0,\ y>0,$$ то $$x+y>0,$$ а $$\,(x-y)^2\ge 0.$$ Значит,
$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}-\frac1x-\frac1y\ge 0,$$
что и требовалось доказать.
б) Докажем, что
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y, \qquad x>0,\ y>0.$$
Умножим обе части на положительное число $$xy$$:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2.$$
Далее получаем так же:
$$x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x-y)^2(x+y)\ge 0.$$
Следовательно,
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y.$$
Ответ
а) $$A\cap B=\{\,\text{числа, кратные }15\,\}, \quad A\cup B=\{\,\text{числа, кратные }3 \text{ или } 5\,\}.$$
б) $$A\cap B=B,\quad A\cup B=A.$$
Неравенства доказаны.
