Упр.906 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 5;
б) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 15.
1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств А и В.
3) Исправьте ошибки, если они допущены. Докажите, что если х > 0 и у > 0, то:
а) x/y2+y/x2>=1/x+1/y;
б) x2/y+y2/x>=x+y.
а) Пусть
$$A=\{\,\text{целые числа, кратные }3\,\}, \qquad B=\{\,\text{целые числа, кратные }5\,\}.$$
Тогда общими для множеств $A$ и $B$ будут числа, кратные и $3$, и $5$, то есть кратные $15$:
$$A\cap B=\{\,\text{целые числа, кратные }15\,\}.$$
Объединение состоит из всех целых чисел, кратных $3$ или $5$:
$$A\cup B=\{\,\text{целые числа, кратные }3 \text{ или } 5\,\}.$$
б) Пусть
$$A=\{\,\text{целые числа, кратные }3\,\}, \qquad B=\{\,\text{целые числа, кратные }15\,\}.$$
Так как каждое число, кратное $15$, кратно и $3$, то
$$B\subset A.$$
Следовательно,
$$A\cap B=B,$$
$$A\cup B=A.$$
Доказательство неравенств.
а) Докажем, что
$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac1x+\frac1y, \qquad x>0,\ y>0.$$
Умножим обе части на положительное число $$x^2y^2$$:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2.$$
Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:
$$x^3+y^3-x^2y-xy^2=x(x^2-y^2)-y(x^2-y^2)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y).$$
Так как $$x>0,\ y>0,$$ то $$x+y>0,$$ а $$\,(x-y)^2\ge 0.$$ Значит,
$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}-\frac1x-\frac1y\ge 0,$$
что и требовалось доказать.
б) Докажем, что
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y, \qquad x>0,\ y>0.$$
Умножим обе части на положительное число $$xy$$:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2.$$
Далее получаем так же:
$$x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x-y)^2(x+y)\ge 0.$$
Следовательно,
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y.$$
Ответ
а) $$A\cap B=\{\,\text{числа, кратные }15\,\}, \quad A\cup B=\{\,\text{числа, кратные }3 \text{ или } 5\,\}.$$
б) $$A\cap B=B,\quad A\cup B=A.$$
Неравенства доказаны.
