Упр.905 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?
2. Докажите неравенство:
   а) $$a^2+b^2+4\geq 2(a+b+1)$$;
   б) $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$.

Множество чисел, кратных $$4$$, и множество чисел, кратных $$3$$, изображаются двумя пересекающимися кругами Эйлера. Их общая часть — это числа, кратные и $$4$$, и $$3$$ одновременно, то есть числа, кратные $$12$$.

Докажем неравенства.

1. $$a^2+b^2+4\ge 2(a+b+1)$$
   $$a^2+b^2+4-2a-2b-2\ge 0$$
   $$a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge 0$$
   $$(a-1)^2+(b-1)^2\ge 0.$$
   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

2. $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$
   $$4a^2+b^2-4a-4b+8>0$$
   $$4a^2-4a+1+b^2-4b+4+3>0$$
   $$(2a-1)^2+(b-2)^2+3>0.$$
   Так как $$(2a-1)^2\ge 0,$$ $$(b-2)^2\ge 0,$$ а $$3>0,$$ то неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

Ответ

Общая часть кругов изображает множество чисел, кратных $$12$$.

а) $$a^2+b^2+4\ge 2(a+b+1)$$

б) $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$