Упр.905 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) а2 + b2 + 4 >= 2(а + b + 1);
б) 4а2 + b2 > 4(а + b — 2).

Множество чисел, кратных $4$, и множество чисел, кратных $3$, изображаются двумя пересекающимися кругами Эйлера. Их общая часть — это числа, кратные и $4$, и $3$ одновременно, то есть числа, кратные $12$.

Докажем неравенства.

1. $$a^2+b^2+4\ge 2(a+b+1)$$
   $$a^2+b^2+4-2a-2b-2\ge 0$$
   $$a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge 0$$
   $$(a-1)^2+(b-1)^2\ge 0.$$
   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство верно при любых $a$ и $b$.

2. $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$
   $$4a^2+b^2-4a-4b+8>0$$
   $$4a^2-4a+1+b^2-4b+4+3>0$$
   $$(2a-1)^2+(b-2)^2+3>0.$$
   Так как $$(2a-1)^2\ge 0,$$ $$ (b-2)^2\ge 0,$$ а $$3>0,$$ то неравенство верно при любых $a$ и $b$.

Ответ

Общая часть кругов изображает множество чисел, кратных $12$.

а) $$a^2+b^2+4\ge 2(a+b+1)$$

б) $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$