Упр.897 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 9а + 1/a >= 6 при а > 0;
б) 25b <= -10 при b < 0. При каких значениях b уравнение х2 - 6bх + 9b2 - 16= 0 имеет два отрицательных корня?

а) Рассмотрим выражение:

$$9a+\frac{1}{a}-6.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$9a+\frac{1}{a}-6=\frac{9a^2+1-6a}{a}=\frac{9a^2-6a+1}{a}=\frac{(3a-1)^2}{a}.$$

Так как $$a>0,$$ то $$a$$ — положительное число, а $$\left(3a-1\right)^2\ge 0.$$ Значит,

$$\frac{(3a-1)^2}{a}\ge 0,$$

то есть

$$9a+\frac{1}{a}\ge 6.$$

б) Рассмотрим выражение:

$$25b+\frac{1}{b}+10.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$25b+\frac{1}{b}+10=\frac{25b^2+1+10b}{b}=\frac{25b^2+10b+1}{b}=\frac{(5b+1)^2}{b}.$$

Так как $$b<0,$$ то $$b$$ — отрицательное число, а $$\left(5b+1\right)^2\ge 0.$$ Следовательно,

$$\frac{(5b+1)^2}{b}\le 0,$$

то есть

$$25b+\frac{1}{b}\le -10.$$

в) Решим уравнение

$$x^2-6bx+9b^2-16=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-6b)^2-4\cdot 1\cdot (9b^2-16)=36b^2-36b^2+64=64.$$

Тогда корни:

$$x_{1,2}=\frac{6b\pm 8}{2}=3b\pm 4.$$

Чтобы оба корня были отрицательными, нужно:

$$3b+4<0,$$

$$3b-4<0.$$

Из первого неравенства получаем $$b<-\frac{4}{3},$$ из второго — $$b<\frac{4}{3}.$$

Оба условия выполняются при

$$b<-\frac{4}{3}.$$

Ответ

а) $$9a+\frac{1}{a}\ge 6$$ при $$a>0$$; б) $$25b+\frac{1}{b}\le -10$$ при $$b<0$$; в) $$b<-\frac{4}{3}.$$