Упр.896 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение.
2. При каких значениях $$a$$ уравнение $$x^2+2ax+a^2-4=0$$ имеет два корня, принадлежащие промежутку $$(-6;6)$$?

Найдём корни уравнения

$$x^2+2ax+a^2-4=0.$$

Это квадратное уравнение, где

$$D=(2a)^2-4\cdot 1\cdot (a^2-4)=4a^2-4a^2+16=16.$$

Так как $$D>0,$$ уравнение всегда имеет два различных корня:

$$x_{1,2}=\frac{-2a\pm 4}{2}=-a\pm 2.$$

Требуется, чтобы оба корня принадлежали промежутку $$(-6;6).$$ Тогда

$$-6<-a+2<6,$$

$$-6<-a-2<6.$$

Решим каждое неравенство:

$$-8<-a<4 \quad \Rightarrow \quad -4<a<8,$$

$$-4<-a<8 \quad \Rightarrow \quad -8<a<4.$$

Пересечение этих промежутков:

$$(-4;8)\cap(-8;4)=(-4;4).$$

Ответ

$$a\in(-4;4).$$