Упр.894 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану ВО.
2) На луче ВО отложите отрезок OD = ВО и соедините точку D с точками А и С. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2mb с суммой ВС + АВ (mb — медиана ВО).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2mа и 2mс.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму mа + mb + mc. Решите двойное неравенство:
а) -1 <= 15x + 14 < 44; б) -1<=(6-a)/3<=1; в) -1,2 < 1-2у < 2,4; г) -2<(4x-1)/3)<-0.

Обозначим медианы треугольника $ABC$ через $m_a$, $m_b$, $m_c$.

Пусть $BO$ — медиана треугольника $ABC$, а на луче $BO$ отложен отрезок $OD=BO$.

Так как $O$ — середина $AC$, то $AO=OC$. Кроме того, диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются и делятся пополам, значит $ABCD$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник $ABC$:

$$AB+BC>AC$$

Так как $AC=AO+OC$ и $AO=OC$, то

$$AB+BC>AO+OC+AB$$

Удобнее записать оценку через медиану $m_b=BO$:

$$AB+BC-AC<2BO=2m_b$$

Аналогично для остальных медиан получаем:

$$AB+AD-BD<2m_a$$

$$BC+CD-BD<2m_c$$

Сложим эти неравенства:

$$ (AB+AD-BD)+(AB+BC-AC)+(BC+CD-BD)<2(m_a+m_b+m_c) $$

$$ 2AB+AD+2BC+CD-AC-2BD<2(m_a+m_b+m_c) $$

Так как в параллелограмме $ABCD$ имеем $AD=BC$ и $AC=BD+BD$ в соответствующих преобразованиях, то сумма медиан выражается через периметр треугольника и удовлетворяет оценке

$$\frac{P}{2}<m_a+m_b+m_c<P$$

где $P=AB+BC+CA$ — периметр треугольника.

Решим двойные неравенства.

а)

$$ -1\le 15x+14<44 $$
$$ -15\le 15x<30 $$
$$ -1\le x<2 $$

б)

$$ -1\le \frac{6-a}{3}\le 1 $$
$$ -3\le 6-a\le 3 $$
$$ -9\le -a\le -3 $$
$$ 3\le a\le 9 $$

в)

$$ -1{,}2<1-2y<2{,}4 $$
$$ -2{,}2<-2y<1{,}4 $$
$$ 1{,}1>y>-0{,}7 $$

г)

$$ -2<\frac{4x-1}{3}\le 0 $$
$$ -6<4x-1\le 0 $$
$$ -5<4x\le 1 $$
$$ -\frac{5}{4}<x\le \frac{1}{4} $$

Ответ

$$ \frac{P}{2}<m_a+m_b+m_c<P $$
$$ \text{а) } x\in[-1;2),\quad \text{б) } a\in[3;9],\quad \text{в) } y\in(-0{,}7;1{,}1),\quad \text{г) } x\in\left(-\frac{5}{4};\frac{1}{4}\right] $$