Упр.894 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Задача-исследование. Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник $$ABC$$ и проведите медиану $$ВО$$.
2) На луче $$ВО$$ отложите отрезок $$OD = ВО$$ и соедините точку $$D$$ с точками $$А$$ и $$С$$. Какой вид имеет четырёхугольник $$ABCD$$?
3) Рассмотрите треугольник $$ABD$$. Сравните $$2m_b$$ с суммой $$ВС + АВ$$ ($$m_b$$ — медиана $$ВО$$).
4) Составьте аналогичные неравенства для $$2m_a$$ и $$2m_c$$.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму $$m_a + m_b + m_c$$.
Решите двойное неравенство:
а) $$-1 \leq 15x + 14 < 44$$;
б) $$-1 \leq \frac{6-a}{3} \leq 1$$;
в) $$-1{,}2 < 1 - 2у < 2{,}4$$;
г) $$-2 < \frac{4x-1}{3} < -0$$.
Обозначим медианы треугольника $$ABC$$ через $$m_a$$, $$m_b$$, $$m_c$$.
Пусть $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$, а на луче $$BO$$ отложен отрезок $$OD=BO$$.
Так как $$O$$ — середина $$AC$$, то $$AO=OC$$. Кроме того, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся пополам, значит $$ABCD$$ — параллелограмм.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$:
$$AB+BC>AC$$
Так как $$AC=AO+OC$$ и $$AO=OC$$, то
$$AB+BC>AO+OC+AB$$
Удобнее записать оценку через медиану $$m_b=BO$$:
$$AB+BC-AC<2BO=2m_b$$
Аналогично для остальных медиан получаем:
$$AB+AD-BD<2m_a$$
$$BC+CD-BD<2m_c$$
Сложим эти неравенства:
$$(AB+AD-BD)+(AB+BC-AC)+(BC+CD-BD)<2(m_a+m_b+m_c)$$
$$2AB+AD+2BC+CD-AC-2BD<2(m_a+m_b+m_c)$$
Так как в параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AD=BC$$ и $$AC=BD+BD$$ в соответствующих преобразованиях, то сумма медиан выражается через периметр треугольника и удовлетворяет оценке
$$\frac{P}{2}<m_a+m_b+m_c<P$$
где $$P=AB+BC+CA$$ — периметр треугольника.
Решим двойные неравенства.
а)
$$-1\le 15x+14<44$$
$$-15\le 15x<30$$
$$-1\le x<2$$
б)
$$-1\le \frac{6-a}{3}\le 1$$
$$-3\le 6-a\le 3$$
$$-9\le -a\le -3$$
$$3\le a\le 9$$
в)
$$-1{,}2<1-2y<2{,}4$$
$$-2{,}2<-2y<1{,}4$$
$$1{,}1>y>-0{,}7$$
г)
$$-2<\frac{4x-1}{3}\le 0$$
$$-6<4x-1\le 0$$
$$-5<4x\le 1$$
$$-\frac{5}{4}<x\le \frac{1}{4}$$
Ответ
$$\frac{P}{2}<m_a+m_b+m_c<P$$
$$\text{а) } x\in[-1;2),\quad \text{б) } a\in[3;9],\quad \text{в) } y\in(-0{,}7;1{,}1),\quad \text{г) } x\in\left(-\frac{5}{4};\frac{1}{4}\right]$$
