Упр.893 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$. В каждом из них сумма двух сторон больше третьей:

$$BC < BO + OC,$$

$$AD < AO + OD.$$

Сложим эти неравенства:

$$BC + AD < BO + OC + AO + OD.$$

Перегруппируем слагаемые:

$$BC + AD < (BO + OD) + (AO + OC).$$

Так как $$BO + OD = BD$$, а $$AO + OC = AC,$$ то получаем:

$$BC + AD < BD + AC.$$

Что и требовалось доказать.

Теперь решим двойные неравенства.

$$-6{,}5 < \frac{7x+6}{2} \le 20{,}5$$
Умножим обе части на $$2$$:
$$-13 < 7x+6 \le 41$$
Вычтем $$6$$:
$$-19 < 7x \le 35$$
Разделим на $$7$$:
$$-\frac{19}{7} < x \le 5$$
Подойдут, например, числа $$-2,\ 0,\ 5$$.
$$-1 < \frac{4-a}{3} \le 5$$
Умножим на $$3$$:
$$-3 < 4-a \le 15$$
Вычтем $$4$$:
$$-7 < -a \le 11$$
Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:
$$-11 \le a < 7$$
Подойдут, например, числа $$-2,\ 0,\ 3$$.
$$-2 \le \frac{3x-1}{8} \le 0$$
Умножим на $$8$$:
$$-16 \le 3x-1 \le 0$$
Прибавим $$1$$:
$$-15 \le 3x \le 1$$
Разделим на $$3$$:
$$-5 \le x \le \frac{1}{3}$$
Подойдут, например, числа $$-3,\ -2,\ 0$$.
$$-2{,}5 \le \frac{1-3y}{2} \le 1{,}5$$
Умножим на $$2$$:
$$-5 \le 1-3y \le 3$$
Вычтем $$1$$:
$$-6 \le -3y \le 2$$
Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:
$$-2 \le 3y \le 6$$
Разделим на $$3$$:
$$-\frac{2}{3} \le y \le 2$$
Подойдут, например, числа $$0,\ 1,\ 2$$.