Упр.892 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (а + b)(b + с)(а + с)>= 8abc;
б) (а + 1)(b+1)(a+c)(b+c)/16>=abc.
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел а и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
Решите двойное неравенство:
а) -3 < 2х - 1 < 3; б) -12 < 5 - х < 17; в) 2 < 6 - 2у < 5; г) -1 < 5у + 4 < 19.

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$

а) Для пар чисел $$a,b$$, $$b,c$$ и $$a,c$$ имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}, \qquad \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}.$$

Тогда

$$ (a+b)(b+c)(a+c)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}. $$

Упростим правую часть:

$$ 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc. $$

Следовательно,

$$ (a+b)(b+c)(a+c)\ge 8abc. $$

б) Аналогично применим неравенство AM-GM к парам $$a,1$$, $$b,1$$, $$a,c$$ и $$b,c$$:

$$\frac{a+1}{2}\ge \sqrt{a}, \qquad \frac{b+1}{2}\ge \sqrt{b}, \qquad \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}, \qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}.$$

Тогда

$$ (a+1)(b+1)(a+c)(b+c)\ge 2\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{b}\cdot 2\sqrt{ac}\cdot 2\sqrt{bc}. $$

Правая часть равна

$$ 16\sqrt{a\cdot b\cdot ac\cdot bc}=16abc. $$

Значит,

$$ \frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16}\ge abc. $$

Двойные неравенства:

1. $$-3<2x-1<3$$

   $$ -2<2x<4 \\ -1<x<2 $$

2. $$-12<5-x<17$$

   $$ -17<-x<12 \\ -12<x<17 $$

3. $$2<6-2y<5$$

   $$ -4<-2y<-1 \\ \frac{1}{2}<y<2 $$

4. $$-1<5y+4<19$$

   $$ -5<5y<15 \\ -1<y<3 $$

Ответ

$$ (a+b)(b+c)(a+c)\ge 8abc; \qquad \frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16}\ge abc. $$

$$ x\in(-1;2),\quad x\in(-12;17),\quad y\in\left(\frac12;2\right),\quad y\in(-1;3). $$