Упр.892 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Для работы в парах. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при $$a \geq 0$$, $$b \geq 0$$, $$c \geq 0$$ верно неравенство:
а) $$(a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc$$;
б) $$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc$$.
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел $$a$$ и $$b$$.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
Решите двойное неравенство:
а) $$-3 < 2x-1 < 3$$;
б) $$-12 < 5-x < 17$$;
в) $$2 < 6-2y < 5$$;
г) $$-1 < 5y+4 < 19$$.

Подробный ответ

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$

а) Для пар чисел $$a,b$$, $$b,c$$ и $$a,c$$ имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}, \qquad \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}.$$

Тогда

$$(a+b)(b+c)(a+c)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}.$$

Упростим правую часть:

$$2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc.$$

Следовательно,

$$(a+b)(b+c)(a+c)\ge 8abc.$$

б) Аналогично применим неравенство AM-GM к парам $$a,1$$, $$b,1$$, $$a,c$$ и $$b,c$$: