Упр.876 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Сравните числа: а) $$\sqrt{2}+5$$ и $$2+\sqrt{5}$$; в) $$\frac{2\sqrt{3}+2^3}{3}$$ и $$9$$; б) $$\sqrt{3}-4$$ и $$1-\sqrt{5}$$; г) $$\frac{1-\sqrt{15}}{12}$$ и $$-\frac{7}{8}$$.
- Решите систему неравенств: а) $$\begin{cases}x>17,\\x>12;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x<1,\\x<5;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}x>0,\\x<6;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}x<-3{,}5,\\x>8;\end{cases}$$ д) $$\begin{cases}x\geqslant-1,\\x\leqslant3;\end{cases}$$ е) $$\begin{cases}x>8,\\x\leqslant20.\end{cases}$$
а) Сравним числа $$\sqrt{2}+5$$ и $$2+\sqrt{5}$$.
Перенесём: $$5-2 \; \text{и} \; \sqrt{5}-\sqrt{2}.$$
Так как $$5-2=3,$$ а $$\sqrt{5}-\sqrt{2}>0,$$ возведём в квадрат:
$$3^2 \; \text{и} \; (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$$
$$9 \; \text{и} \; 5-2\sqrt{10}+2$$
$$9 \; \text{и} \; 7-2\sqrt{10}.$$
Поскольку $$2>-2\sqrt{10},$$ то $$9>7-2\sqrt{10}.$$
Следовательно, $$\sqrt{2}+5>2+\sqrt{5}.$$
б) Сравним числа $$\sqrt{3}-4$$ и $$1-\sqrt{5}.$$
Перенесём: $$\sqrt{3}+\sqrt{5} \; \text{и} \; 1+4.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2 \; \text{и} \; 5^2$$
$$3+2\sqrt{15}+5 \; \text{и} \; 25$$
$$8+2\sqrt{15} \; \text{и} \; 25$$
$$2\sqrt{15} \; \text{и} \; 17.$$
Так как $$\left(2\sqrt{15}\right)^2=4\cdot 15=60<289=17^2,$$ то $$2\sqrt{15}<17.$$
Следовательно, $$\sqrt{3}-4<1-\sqrt{5}.$$
в) Сравним числа $$\dfrac{2\sqrt{3}+23}{3}$$ и $$9.$$
Умножим на $$3$$:
$$2\sqrt{3}+23 \; \text{и} \; 27$$
$$2\sqrt{3} \; \text{и} \; 4.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(2\sqrt{3}\right)^2 \; \text{и} \; 4^2$$
$$4\cdot 3 \; \text{и} \; 16$$
$$12<16.$$
Следовательно, $$\dfrac{2\sqrt{3}+23}{3}<9.$$
г) Сравним числа $$\dfrac{1-\sqrt{15}}{12}$$ и $$-\dfrac{7}{8}.$$
Умножим на $$24$$:
$$2(1-\sqrt{15}) \; \text{и} \; -21$$
$$2-2\sqrt{15} \; \text{и} \; -21$$
$$2\sqrt{15} \; \text{и} \; 23.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(2\sqrt{15}\right)^2 \; \text{и} \; 23^2$$
$$4\cdot 15 \; \text{и} \; 23^2$$
$$60<529.$$
Следовательно, $$\dfrac{1-\sqrt{15}}{12}>-\dfrac{7}{8}.$$
Решим системы неравенств.
а) $$x>17,\; x>12.$$
Общее решение: $$x>17,$$ то есть $$x\in(17;+\infty).$$
б) $$x<1,\; x<5.$$
Общее решение: $$x<1,$$ то есть $$x\in(-\infty;1).$$
в) $$x>0,\; x<6.$$
Общее решение: $$x\in(0;6).$$
г) $$x<-3{,}5,\; x>8.$$
Общих решений нет: $$\varnothing.$$
д) $$x\ge -1,\; x\le 3.$$
Общее решение: $$x\in[-1;3].$$
е) $$x>8,\; x\le 20.$$
Общее решение: $$x\in(8;20].$$
Ответ
а) $$\sqrt{2}+5>2+\sqrt{5}$$; б) $$\sqrt{3}-4<1-\sqrt{5}$$; в) $$\dfrac{2\sqrt{3}+23}{3}<9$$; г) $$\dfrac{1-\sqrt{15}}{12}>-\dfrac{7}{8}$$.
Системы неравенств: а) $$x\in(17;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;1)$$; в) $$x\in(0;6)$$; г) $$\varnothing$$; д) $$x\in[-1;3]$$; е) $$x\in(8;20].$$
