Упр.873 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) корень 2 + 1; б) корень 2-1; в) 2 — корень 2. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

1) Из неравенства $$1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$$ получаем:

а) $$1{,}4+1<\sqrt{2}+1<1{,}5+1,$$
$$2{,}4<\sqrt{2}+1<2{,}5;$$

б) $$1{,}4-1<\sqrt{2}-1<1{,}5-1,$$
$$0{,}4<\sqrt{2}-1<0{,}5;$$

в) $$2-1{,}5<2-\sqrt{2}<2-1{,}4,$$
$$0{,}5<2-\sqrt{2}<0{,}6.$$

2) Пусть $$x$$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда по течению её скорость равна $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.

Время движения по течению:

$$\frac{30}{x+3}$$

Время движения против течения:

$$\frac{30}{x-3}$$

Общее время равно $$5\text{ ч }20\text{ мин}=5\frac{1}{3}\text{ ч}=\frac{16}{3}\text{ ч}.$$ Составим уравнение:

$$\frac{30}{x+3}+\frac{30}{x-3}=\frac{16}{3}$$

Умножим обе части на $$3(x+3)(x-3)$$:

$$90(x-3)+90(x+3)=16(x^2-9)$$
$$180x=16x^2-144$$
$$16x^2-180x-144=0$$
$$4x^2-45x-36=0$$

Найдём корни:

$$D=(-45)^2-4\cdot 4\cdot(-36)=2025+576=2601,$$
$$\sqrt{D}=51.$$

$$x=\frac{45\pm 51}{8}$$

$$x_1=\frac{96}{8}=12,\qquad x_2=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}.$$

Отрицательное значение не подходит, значит $$x=12$$ км/ч.

Ответ

а) $$2{,}4<\sqrt{2}+1<2{,}5$$; б) $$0{,}4<\sqrt{2}-1<0{,}5$$; в) $$0{,}5<2-\sqrt{2}<0{,}6$$; скорость лодки $$12$$ км/ч.