Упр.854 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Что больше: а3 + b3 или ab(a + b), если а и b — неравные положительные числа? Решите неравенство:

Преобразуем разность:

$$a^3+b^3-ab(a+b)=a^3+b^3-a^2b-ab^2$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^3-a^2b+ab^2-b^3=a^2(a-b)+b^2(a-b)$$

$$=(a-b)(a^2+b^2)$$

Но удобнее разложить сразу так:

$$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$$

$$=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2$$

Так как $$a>0$$, $$b>0$$, то $$a+b>0$$, а при $$a\ne b$$ имеем $$ (a-b)^2>0$$. Значит,

$$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2>0.$$

Следовательно,

$$a^3+b^3>ab(a+b).$$

Ответ

$$a^3+b^3>ab(a+b).$$