Упр.853 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (13x-1)/2<4x; б) (5-2a)/4>=2a;
в) x/4-x/5<=2; г) 2y/5-y/2>=1.

Докажем неравенство:

$$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}, \quad a\ge 0,\ b\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Умножим на $4$:

$$a^2+2ab+b^2\le 2a^2+2b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$0\le a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно.

а)

$$\frac{13x-1}{2}<4x$$

$$13x-1<8x$$

$$5x<1$$

$$x<0{,}2.$$

б)

$$\frac{5-2a}{4}\ge 2a$$

$$5-2a\ge 8a$$

$$-10a\ge -5$$

$$a\le 0{,}5.$$

в)

$$\frac{x}{4}-\frac{x}{5}\le 2$$

$$\frac{5x-4x}{20}\le 2$$

$$\frac{x}{20}\le 2$$

$$x\le 40.$$

г)

$$\frac{2y}{5}-\frac{y}{2}\ge 1$$

$$\frac{4y-5y}{10}\ge 1$$

$$-\frac{y}{10}\ge 1$$

$$-y\ge 10$$

$$y\le -10.$$

Ответ

$$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

а) $$x<0{,}2$$; б) $$a\le 0{,}5$$; в) $$x\le 40$$; г) $$y\le -10$$.