Упр.848 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем $$2$$.
2. Решите неравенство:
   а) $$4b(1-3b)-(b-12b^2)<43$$; б) $$3у^2-2у-3у(у-6)\geq-2$$; в) $$2р(5р+2)-р(10р+3)\leq14$$; г) $$а(а-1)-(а^2+а)<34$$.

Пусть $$a>0$$. Тогда число, обратное ему, равно $$\frac{1}{a}$$. Докажем, что

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Перенесём $$2$$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2+1-2a}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}.$$

Так как $$a>0$$, а $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$, то

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0.$$

Значит, $$a+\frac{1}{a}\ge 2$$.

Решим неравенства.

1. $$4b(1-3b)-(b-12b^2)<43$$

   $$4b-12b^2-b+12b^2<43$$

   $$3b<43$$

   $$b<\frac{43}{3}.$$

2. $$3y^2-2y-3y(y-6)\ge -2$$

   $$3y^2-2y-3y^2+18y\ge -2$$

   $$16y\ge -2$$

   $$y\ge -\frac{1}{8}.$$

3. $$2p(5p+2)-p(10p+3)\le 14$$

   $$10p^2+4p-10p^2-3p\le 14$$

   $$p\le 14.$$

4. $$a(a-1)-(a^2+a)<34$$

   $$a^2-a-a^2-a<34$$

   $$-2a<34$$

   $$a>-17.$$

Ответ

$$a+\frac{1}{a}\ge 2;$$

а) $$b<\frac{43}{3}$$; б) $$y\ge -\frac{1}{8}$$; в) $$p\le 14$$; г) $$a>-17$$.