Упр.846 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Для работы в парах. Увеличится или уменьшится дробь $$\frac{a}{b}$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $$\frac{a}{b}$$. Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один — для случая $$a<b$$, а другой — для случая $$a>b$$.
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
а) $$a(a-4)-a^2>12-6a$$;
б) $$(2x-1)2x-5x<4x^2-x$$;
в) $$5y^2-5y(y+4)\geq100$$;
г) $$6a(a-1)-2a(3a-2)<6$$.
1) Рассмотрим дробь $$\frac{a}{b}$$.
Если $$a<b$$, то $$\frac{a}{b}<1$$. После прибавления 1 к числителю и знаменателю получаем
$$\frac{a+1}{b+1}.$$
Сравним:
$$\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{b(b+1)}=\frac{b-a}{b(b+1)}>0.$$
Значит, дробь увеличится.
Если $$a>b$$, то $$\frac{a}{b}>1$$. Тогда
$$\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b(b+1)}<0.$$
Значит, дробь уменьшится.
2) Решим неравенства.
а)
$$a(a-4)-a^2>12-6a$$
$$a^2-4a-a^2>12-6a$$
$$-4a>12-6a$$
$$2a>12$$
$$a>6.$$
б)
$$(2x-1)2x-5x<4x^2-x$$
$$4x^2-2x-5x<4x^2-x$$
$$-7x<-x$$
$$-6x<0$$
$$x>0.$$
в)
$$5y^2-5y(y+4)\ge 100$$
$$5y^2-5y^2-20y\ge 100$$
$$-20y\ge 100$$
$$y\le -5.$$
г)
$$6a(a-1)-2a(3a-2)<6$$
$$6a^2-6a-6a^2+4a<6$$
$$-2a<6$$
$$a>-3.$$
Ответ
1) При $$a<b$$ дробь увеличится, при $$a>b$$ — уменьшится.
2) а) $$a>6$$; б) $$x>0$$; в) $$y\le -5$$; г) $$a>-3$$.
