Упр.830 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? Докажите неравенство а2 + 5 > 2а.

Пусть $$x$$ ч нужно первому слесарю, тогда второму нужно $$x-5$$ ч.

Тогда производительность первого слесаря равна $$\frac{1}{x}$$, а второго — $$\frac{1}{x-5}$$.

За 1 час первый слесарь выполнил $$\frac{1}{x}$$ работы, а за 4 часа совместной работы они выполнили

$$4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}\right).$$

По условию, всего выполнено $$40\%=\frac{2}{5}$$ заказа, значит

$$\frac{1}{x}+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}\right)=\frac{2}{5}.$$

Решим уравнение:

$$ \frac{1}{x}+ \frac{4}{x}+ \frac{4}{x-5}=\frac{2}{5} $$

$$ \frac{5}{x}+\frac{4}{x-5}=\frac{2}{5} $$

Умножим обе части на $$5x(x-5)$$:

$$ 25(x-5)+20x=2x(x-5) $$

$$ 25x-125+20x=2x^2-10x $$

$$ 2x^2-55x+125=0 $$

Найдём корни:

$$ D=55^2-4\cdot 2\cdot 125=3025-1000=2025=45^2 $$

$$ x=\frac{55\pm 45}{4} $$

$$ x_1=\frac{10}{4}=2{,}5,\qquad x_2=\frac{100}{4}=25 $$

Значение $$x=2{,}5$$ не подходит, так как тогда $$x-5<0$$. Значит, $$x=25$$.

Тогда второму слесарю нужно

$$25-5=20$$ ч.

Проверим неравенство:

$$ a^2+5>2a $$

$$ a^2-2a+5>0 $$

$$ a^2-2a+5=(a-1)^2+4 $$

Так как $$\,(a-1)^2\ge 0$$, то

$$ (a-1)^2+4>0 $$

при любом $$a$$. Неравенство доказано.

Ответ

Первому слесарю — $$25$$ ч, второму — $$20$$ ч.