Упр.830 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?
2. Докажите неравенство $$a^2+5>2a$$.

Пусть $$x$$ ч нужно первому слесарю, тогда второму нужно $$x-5$$ ч.

Тогда производительность первого слесаря равна $$\frac{1}{x}$$, а второго — $$\frac{1}{x-5}$$.

За 1 час первый слесарь выполнил $$\frac{1}{x}$$ работы, а за 4 часа совместной работы они выполнили

$$4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}\right).$$

По условию, всего выполнено $$40\%=\frac{2}{5}$$ заказа, значит

$$\frac{1}{x}+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}\right)=\frac{2}{5}.$$

Решим уравнение:

$$\frac{1}{x}+ \frac{4}{x}+ \frac{4}{x-5}=\frac{2}{5}$$

$$\frac{5}{x}+\frac{4}{x-5}=\frac{2}{5}$$

Умножим обе части на $$5x(x-5)$$:

$$25(x-5)+20x=2x(x-5)$$

$$25x-125+20x=2x^2-10x$$

$$2x^2-55x+125=0$$

Найдём корни:

$$D=55^2-4\cdot 2\cdot 125=3025-1000=2025=45^2$$

$$x=\frac{55\pm 45}{4}$$

$$x_1=\frac{10}{4}=2{,}5,\qquad x_2=\frac{100}{4}=25$$

Значение $$x=2{,}5$$ не подходит, так как тогда $$x-5<0$$. Значит, $$x=25$$.

Тогда второму слесарю нужно

$$25-5=20$$ ч.

Проверим неравенство:

$$a^2+5>2a$$

$$a^2-2a+5>0$$

$$a^2-2a+5=(a-1)^2+4$$

Так как $$\,(a-1)^2\ge 0$$, то

$$(a-1)^2+4>0$$

при любом $$a$$. Неравенство доказано.

Ответ

Первому слесарю — $$25$$ ч, второму — $$20$$ ч.