Упр.820 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
2. Укажите все дроби вида $$\frac{a}{54}$$, где $$a \in \mathbb{N}$$, принадлежащие промежутку $$\left[\frac{1}{9};\frac{1}{6}\right]$$.

Пусть $$v$$ км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению равна $$v+2$$ км/ч, а против течения — $$v-2$$ км/ч.

По условию катер прошёл по течению расстояние $$6(v+2)=6v+12$$ км. Тогда до пристани $$N$$ он не дошёл $$40$$ км, значит обратно он возвращался от расстояния $$6v+12-40=6v-28$$ км.

Составим уравнение по времени:

$$\frac{6v-28}{v+2}+\frac{6v-28}{v-2}=9$$

ОДЗ: $$v\neq 2$$, $$v\neq -2$$.

Умножим уравнение на $$\left(v+2\right)\left(v-2\right)$$:

$$(6v-28)(v-2)+(6v-28)(v+2)=9(v+2)(v-2)$$

$$(6v-28)\bigl((v-2)+(v+2)\bigr)=9(v^2-4)$$

$$(6v-28)\cdot 2v=9v^2-36$$

$$12v^2-56v=9v^2-36$$

$$3v^2-56v+36=0$$

Найдём корни:

$$D=(-56)^2-4\cdot 3\cdot 36=3136-432=2704=52^2$$

$$v=\frac{56\pm 52}{6}$$

$$v_1=\frac{108}{6}=18,\qquad v_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Так как скорость катера должна быть больше скорости течения, подходит только $$v=18$$.

Для второго задания:

$$\frac{1}{9}=\frac{6}{54},\qquad \frac{1}{6}=\frac{9}{54}$$

Значит, в промежутке $$\left[\frac{1}{9};\frac{1}{6}\right]$$ лежат дроби вида $$\frac{a}{54}$$ при $$a=6,7,8,9$$.

Ответ

$$18\text{ км/ч};\ \frac{6}{54},\ \frac{7}{54},\ \frac{8}{54},\ \frac{9}{54}$$