Упр.819 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Из двух городов $$A$$ и $$B$$ выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из $$A$$, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из $$A$$ на $$4\frac{1}{2}$$ ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от $$B$$. Найдите расстояние между городами $$A$$ и $$B$$.
Принадлежит ли интервалу $$(1{,}5; 2{,}4)$$ число:
а) $$\sqrt{2}$$;
б) $$\sqrt{3}$$;
в) $$\sqrt{5}$$;
г) $$\sqrt{6}$$?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — скорость автомобиля, выехавшего из города $$A$$. Тогда скорость второго автомобиля равна $$x+10$$ км/ч.

Так как автомобили встретились через $$5$$ ч, то расстояние между городами равно

$$5x+5(x+10)=10x+50.$$

Если первый автомобиль выехал из города $$A$$ на $$4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$ ч раньше второго, то до встречи он был в пути на $$\frac{9}{2}$$ ч больше. Поэтому

$$\frac{10x-100}{x}-\frac{150}{x+10}=\frac{9}{2}.$$

Умножим обе части на $$2x(x+10)$$:

$$2(x+10)(10x-100)-300x=9x(x+10)$$
$$20x^2-2000-300x=9x^2+90x$$
$$11x^2-390x-2000=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-390)^2-4\cdot 11\cdot(-2000)=240100=490^2$$
$$x=\frac{390\pm 490}{22}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{390-490}{22}=-\frac{100}{22}$$
— не подходит,

$$x_2=\frac{390+490}{22}=40.$$

Значит, скорость первого автомобиля равна $$40$$ км/ч. Тогда расстояние между городами:

$$10\cdot 40+50=450.$$

Проверим принадлежность чисел интервалу $$(1{,}5;2{,}4)$$:

$$\sqrt{2}\approx 1{,}41,\quad \sqrt{3}\approx 1{,}73,\quad \sqrt{5}\approx 2{,}24,\quad \sqrt{6}\approx 2{,}45.$$