Упр.797 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (x + 4)/(x — 1) — (37x — 12)/(4x^2 — 3x — 1);
б) (x — 1)/(x + 2) — (1 — x)/(x^2 + 3x + 2);
в) (7x — x^2)/(x + 4) · (x^2 — x — 20)/(7 — x);
г) (x^2 + 11x + 30)/(3x — 15) : (x + 5)/(x — 5);
д) (2x^2 — 7)/(x^2 — 3x — 4) — (x + 1)/(x — 4);
е) (2 + x — x^2)/(2 — 5x + 3x^2) + 10x/(3x — 2). Докажите неравенство:
а) 6а (а +1) < (3а + 1) (2а + 1) + а; б) (2р - 1)(2р + 1) + 3(р + 1) > (4р + 3) р.

1. а)

   $$\frac{x+4}{x-1}-\frac{37x-12}{4x^2-3x-1}=\frac{x+4}{x-1}-\frac{37x-12}{(4x+1)(x-1)}$$
   $$=\frac{(x+4)(4x+1)-(37x-12)}{(4x+1)(x-1)}$$
   $$=\frac{4x^2+17x+4-37x+12}{(4x+1)(x-1)}=\frac{4x^2-20x+16}{(4x+1)(x-1)}$$
   $$=\frac{4(x-1)(x-4)}{(4x+1)(x-1)}=\frac{4x-16}{4x+1}.$$

   ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne -\frac14.$$

2. б)

   $$\frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{x^2+3x+2}=\frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{(x+2)(x+1)}$$
   $$=\frac{(x-1)(x+1)-(1-x)}{(x+2)(x+1)}$$
   $$=\frac{x^2-1-1+x}{(x+2)(x+1)}=\frac{x^2+x-2}{(x+2)(x+1)}$$
   $$=\frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}=\frac{x-1}{x+1}.$$

   ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne -1.$$

3. в)

   $$\frac{7x-x^2}{x+4}\cdot\frac{x^2-x-20}{7-x}=\frac{x(7-x)}{x+4}\cdot\frac{(x-5)(x+4)}{7-x}$$
   $$=x(x-5)=x^2-5x.$$

   ОДЗ: $$x\ne -4,\; x\ne 7.$$

4. г)

   $$\frac{x^2+11x+30}{3x-15}:\frac{x+5}{x-5}=\frac{(x+6)(x+5)}{3(x-5)}\cdot\frac{x-5}{x+5}$$
   $$=\frac{x+6}{3}.$$

   ОДЗ: $$x\ne 5,\; x\ne -5.$$

5. д)

   $$\frac{2x^2-7}{x^2-3x-4}-\frac{x+1}{x-4}=\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)}-\frac{x+1}{x-4}$$
   $$=\frac{2x^2-7-(x+1)^2}{(x-4)(x+1)}$$
   $$=\frac{2x^2-7-x^2-2x-1}{(x-4)(x+1)}=\frac{x^2-2x-8}{(x-4)(x+1)}$$
   $$=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}.$$

   ОДЗ: $$x\ne 4,\; x\ne -1.$$

6. е)

   $$\frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2}+\frac{10x}{3x-2}=\frac{2+x-x^2}{(3x-2)(x-1)}+\frac{10x}{3x-2}$$
   $$=\frac{2+x-x^2+10x(x-1)}{(3x-2)(x-1)}$$
   $$=\frac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(x-1)}=\frac{(3x-1)(3x-2)}{(3x-2)(x-1)}$$
   $$=\frac{3x-1}{x-1}.$$

   ОДЗ: $$x\ne \frac23,\; x\ne 1.$$

7. а)

   $$6a(a+1)<(3a+1)(2a+1)+a$$ $$6a^2+6a<6a^2+3a+2a+1+a$$ $$6a^2+6a<6a^2+6a+1,$$

   что верно при любом $$a$$.

8. б)

   $$(2p-1)(2p+1)+3(p+1)>(4p+3)p$$
   $$4p^2-1+3p+3>4p^2+3p$$
   $$4p^2+3p+2>4p^2+3p,$$

   что верно при любом $$p$$.

Ответ

а) $$\frac{4x-16}{4x+1}$$; б) $$\frac{x-1}{x+1}$$; в) $$x^2-5x$$; г) $$\frac{x+6}{3}$$; д) $$\frac{x+2}{x+1}$$; е) $$\frac{3x-1}{x-1}$$.

а) неравенство верно при любом $$a$$; б) неравенство верно при любом $$p$$.