Упр.795 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена mx^2 + (m — 3)x — 3. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили d = 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и l = 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.

1) Рассмотрим трёхчлен

$$mx^2+(m-3)x-3=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(m-3)^2-4\cdot m\cdot(-3)=(m-3)^2+12m=m^2+6m+9=(m+3)^2.$$

Тогда корни:

$$x_{1,2}=\frac{-(m-3)\pm(m+3)}{2m}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{-(m-3)-(m+3)}{2m}=\frac{-2m}{2m}=-1,$$

$$x_2=\frac{-(m-3)+(m+3)}{2m}=\frac{6}{2m}=\frac{3}{m}.$$

Чтобы оба корня были целыми, число $$\frac{3}{m}$$ должно быть целым. Значит, $$m$$ — делитель числа $$3$$:

$$m\in\{-3,-1,1,3\}.$$

Тогда:

• при $$m=-3$$: $$x=-1$$;
• при $$m=-1$$: $$x=-1$$ и $$x=-3$$;
• при $$m=1$$: $$x=-1$$ и $$x=3$$;
• при $$m=3$$: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

2) Оценим относительные погрешности измерений.

Для толщины волоса $$d=0{,}15\text{ мм}$$ с точностью до $$0{,}01\text{ мм}$$:

$$\delta_d=\frac{0{,}01}{0{,}15}\cdot100\%\approx6{,}7\%.$$

Для расстояния до Луны $$l=384000\text{ км}$$ с точностью до $$500\text{ км}$$:

$$\delta_l=\frac{500}{384000}\cdot100\%\approx0{,}13\%.$$

Следовательно, измерение расстояния от Земли до Луны выполнено значительно точнее.

Ответ

1) $$m=-3,-1,1,3$$; соответствующие целые корни: при $$m=-3$$ — $$x=-1$$; при $$m=-1$$ — $$x=-1,-3$$; при $$m=1$$ — $$x=-1,3$$; при $$m=3$$ — $$x=-1,1$$.

2) Относительные погрешности: $$6{,}7\%$$ и $$0{,}13\%$$. Точнее измерено расстояние от Земли до Луны.