Упр.782 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Известно, что уравнение х2 + рх + q = 0 имеет корни x1 и x2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа x1/x2 и x2/x1. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближённых значений.

Подробный ответ

Пусть корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Найдём сумму и произведение чисел $$\frac{x_1}{x_2}$$ и $$\frac{x_2}{x_1}$$:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{p^2-2q}{q}=\frac{p^2}{q}-2,$$

$$\frac{x_1}{x_2}\cdot\frac{x_2}{x_1}=1.$$

Следовательно, искомое квадратное уравнение имеет вид

$$x^2-\left(\frac{p^2}{q}-2\right)x+1=0.$$

Округлим числа до десятых и найдём абсолютную погрешность:

$$17{,}26\approx 17{,}3,\qquad \left|17{,}3-17{,}26\right|=0{,}04,$$

$$12{,}034\approx 12{,}0,\qquad \left|12{,}034-12{,}0\right|=0{,}034,$$

$$8{,}654\approx 8{,}7,\qquad \left|8{,}7-8{,}654\right|=0{,}046.$$