Упр.781 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 3×1 и 3×2;
б) x1 + 2 и x2 + 2. Докажите, что:
а) 9а + 1/a >= 6 при а > 0;
б) 25b <= -10 при b < 0.

Пусть уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

а) Корни нового уравнения: $$3x_1$$ и $$3x_2$$.

Их сумма равна

$$3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=-3p,$$

а произведение

$$3x_1\cdot 3x_2=9x_1x_2=9q.$$

Следовательно, искомое квадратное уравнение:

$$x^2+3px+9q=0.$$

б) Корни нового уравнения: $$x_1+2$$ и $$x_2+2$$.

Их сумма равна

$$x_1+2+x_2+2=x_1+x_2+4=4-p,$$

а произведение

$$ (x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2x_1+2x_2+4 =q+2(x_1+x_2)+4 =q-2p+4. $$

Значит, искомое уравнение:

$$x^2-(4-p)x+(q-2p+4)=0.$$

Докажем неравенства.

а) При $$a>0$$:

$$ 9a+\frac{1}{a}\ge 6 \iff 9a+\frac{1}{a}-6\ge 0 \iff \frac{9a^2-6a+1}{a}\ge 0. $$

Так как

$$9a^2-6a+1=(3a-1)^2,$$

то

$$\frac{(3a-1)^2}{a}\ge 0.$$

Поскольку $$a>0$$ и квадрат неотрицателен, неравенство верно.

б) При $$b<0$$:

$$ 25b+\frac{1}{b}\le -10 \iff 25b+\frac{1}{b}+10\le 0 \iff \frac{25b^2+10b+1}{b}\le 0. $$

Так как

$$25b^2+10b+1=(5b+1)^2,$$

то

$$\frac{(5b+1)^2}{b}\le 0.$$

Поскольку $$b<0$$, а числитель неотрицателен, неравенство верно.

Ответ

а) $$x^2+3px+9q=0$$; б) $$x^2-(4-p)x+(q-2p+4)=0$$; $$9a+\frac{1}{a}\ge 6$$ при $$a>0$$; $$25b+\frac{1}{b}\le -10$$ при $$b<0$$.