Упр.781 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Зная, что уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$, составьте квадратное уравнение, имеющее корни: а) $$3x_1$$ и $$3x_2$$; б) $$x_1+2$$ и $$x_2+2$$.
- Докажите, что: а) $$9a+\frac{1}{a}\geq 6$$ при $$a>0$$; б) $$25b\leq -10$$ при $$b<0$$.
Пусть уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
а) Корни нового уравнения: $$3x_1$$ и $$3x_2$$.
Их сумма равна
$$3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=-3p,$$
а произведение
$$3x_1\cdot 3x_2=9x_1x_2=9q.$$
Следовательно, искомое квадратное уравнение:
$$x^2+3px+9q=0.$$
б) Корни нового уравнения: $$x_1+2$$ и $$x_2+2$$.
Их сумма равна
$$x_1+2+x_2+2=x_1+x_2+4=4-p,$$
а произведение
$$(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2x_1+2x_2+4 =q+2(x_1+x_2)+4 =q-2p+4.$$
Значит, искомое уравнение:
$$x^2-(4-p)x+(q-2p+4)=0.$$
Докажем неравенства.
а) При $$a>0$$:
$$9a+\frac{1}{a}\ge 6 \iff 9a+\frac{1}{a}-6\ge 0 \iff \frac{9a^2-6a+1}{a}\ge 0.$$
Так как
$$9a^2-6a+1=(3a-1)^2,$$
то
$$\frac{(3a-1)^2}{a}\ge 0.$$
Поскольку $$a>0$$ и квадрат неотрицателен, неравенство верно.
б) При $$b<0$$:
$$25b+\frac{1}{b}\le -10 \iff 25b+\frac{1}{b}+10\le 0 \iff \frac{25b^2+10b+1}{b}\le 0.$$
Так как
$$25b^2+10b+1=(5b+1)^2,$$
то
$$\frac{(5b+1)^2}{b}\le 0.$$
Поскольку $$b<0$$, а числитель неотрицателен, неравенство верно.
Ответ
а) $$x^2+3px+9q=0$$; б) $$x^2-(4-p)x+(q-2p+4)=0$$; $$9a+\frac{1}{a}\ge 6$$ при $$a>0$$; $$25b+\frac{1}{b}\le -10$$ при $$b<0$$.
