Упр.777 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Известно, что сумма квадратов корней уравнения х2 -15x + q = 0 равна 153. Найдите q. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.

Пусть корни уравнения $$x^2-15x+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=15, \qquad x_1x_2=q.$$

По условию сумма квадратов корней равна $$153$$, значит

$$x_1^2+x_2^2=153.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$15^2-2q=153$$

$$225-2q=153$$

$$2q=225-153=72$$

$$q=36.$$

Докажем неравенство. Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

В треугольниках $$BOC$$ и $$AOD$$ по неравенству треугольника имеем:

$$BC<BO+OC,$$

$$AD<AO+OD.$$

Сложим эти неравенства:

$$BC+AD<BO+OC+AO+OD.$$

Перегруппируем слагаемые:

$$BC+AD<(BO+OD)+(AO+OC).$$

Так как $$BO+OD=BD$$, а $$AO+OC=AC$$, получаем:

$$BC+AD<BD+AC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$q=36; \quad BC+AD<BD+AC.$$