Упр.776 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (а + b)(b + с)(а + с)>= 8abc;
б) (а + 1)(b+1)(a+c)(b+c)/16>=abc.
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел а и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.

Пусть корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Тогда сумма квадратов корней равна

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=p^2-2q. $$

Докажем неравенство а):

$$ (a+b)(b+c)(a+c)\ge 8abc. $$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

$$ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},\qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc},\qquad \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}. $$

Следовательно,

$$ (a+b)(b+c)(a+c)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}=8abc. $$

Неравенство б):

$$ \frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16}\ge abc. $$

Снова применим неравенство AM-GM:

$$ \frac{a+1}{2}\ge \sqrt{a},\qquad \frac{b+1}{2}\ge \sqrt{b},\qquad \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac},\qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}. $$

Тогда

$$ \frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt{ac}\cdot \sqrt{bc} =abc. $$

Ответ

Сумма квадратов корней: $$p^2-2q$$.

$$ (a+b)(b+c)(a+c)\ge 8abc, \qquad \frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16}\ge abc. $$