Упр.774 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Один из корней уравнения $$4x^2+bx+c=0$$ равен $$0{,}5$$, а другой — свободному члену. Найдите $$b$$ и $$c$$.
2. Известны границы длины $$a$$ и ширины $$b$$ (в м) комнаты прямоугольной формы: $$7{,}5\le a\le 7{,}6$$ и $$5{,}4\le b\le 5{,}5$$. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее $$40\ \text{м}^2$$?

Пусть корни уравнения $$4x^2+bx+c=0$$ равны $$x_1=0{,}5$$ и $$x_2=c$$.

По теореме Виета для уравнения $$4x^2+bx+c=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{4}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{4}.$$

Подставим известные значения корней:

$$0{,}5+c=-\frac{b}{4},$$
$$0{,}5c=\frac{c}{4}.$$

Из второго уравнения:

$$2c=c \Rightarrow c=0.$$

Тогда из первого уравнения:

$$0{,}5=-\frac{b}{4} \Rightarrow b=-2.$$

Теперь найдём возможную площадь комнаты. Так как

$$7{,}5 \le a \le 7{,}6, \qquad 5{,}4 \le b \le 5{,}5,$$

то площадь $$S=ab$$ удовлетворяет неравенству:

$$7{,}5 \cdot 5{,}4 \le S \le 7{,}6 \cdot 5{,}5.$$

$$40{,}5 \le S \le 41{,}8.$$

Следовательно, площадь комнаты не меньше $$40\ \text{м}^2$$, значит, помещение подходит для библиотеки.

Ответ

$$b=-2,\ c=0.$$ Помещение подходит для библиотеки.