Упр.772 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Квадрат разности корней уравнения $$x^2+px+90=0$$ равен $$81$$. Найдите $$p$$.
2. Известны границы длин основания $$a$$ и боковой стороны $$b$$ равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах: $$26 \le a \le 28$$ и $$41 \le b \le 43$$. Оцените периметр этого треугольника.

Пусть корни уравнения $$x^2+px+90=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=90.$$

По условию

$$\left(x_1-x_2\right)^2=81.$$

Используем формулу:

$$\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2.$$

Тогда

$$81=p^2-4\cdot 90,$$

$$81=p^2-360,$$

$$p^2=441,$$

$$p=\pm 21.$$

Теперь оценим периметр равнобедренного треугольника. Если основание равно $$a$$, а боковые стороны равны $$b$$, то

$$P=a+2b.$$

При $$26\le a\le 28$$ и $$41\le b\le 43$$ получаем:

$$26+2\cdot 41\le P\le 28+2\cdot 43,$$

$$108\le P\le 114.$$

Ответ

$$p=\pm 21,$$

$$108\le P\le 114\text{ мм}.$$