Упр.768 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) 2×2 — 41x + 39 = 0;
б) 17×2 + 243x — 260 = 0. Пусть 3< а < 4 и 4 < b < 5. Оцените:
а) а + b;
б) a-b;
в) ab;
г) a/b.
Пусть дано квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$, где $$a\ne 0$$, и сумма его коэффициентов равна нулю:
$$a+b+c=0.$$
Тогда $$b=-a-c$$. Найдём дискриминант:
$$ D=b^2-4ac=(-a-c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2. $$
Корни уравнения:
$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{a+c\pm(a-c)}{2a}. $$
Тогда
$$ x_1=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a},\qquad x_2=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1. $$
Значит, если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней равен $$1$$.
Теперь решим уравнения.
а) $$2x^2-41x+39=0.$$
Проверим сумму коэффициентов:
$$2-41+39=0.$$
Следовательно, один из корней равен $$1$$. Тогда второй корень найдём по теореме Виета:
$$x_1x_2=\frac{39}{2}.$$
Если $$x_1=1$$, то
$$x_2=\frac{39}{2}.$$
Ответ: $$x=1$$ и $$x=\frac{39}{2}$$.
б) $$17x^2+243x-260=0.$$
Проверим сумму коэффициентов:
$$17+243-260=0.$$
Значит, один из корней равен $$1$$. Тогда второй корень:
$$x_1x_2=\frac{-260}{17}.$$
Если $$x_1=1$$, то
$$x_2=-\frac{260}{17}=-15\frac{5}{17}.$$
Ответ: $$x=1$$ и $$x=-\frac{260}{17}$$.
Теперь оценим выражения при $$3<a<4$$ и $$4<b<5$$.
а) $$a+b$$
$$3+4<a+b<4+5,$$
$$7<a+b<9.$$
б) $$a-b$$
Так как $$4<b<5$$, то $$-5<-b<-4$$. Тогда
$$ 3+(-5)<a-b<4+(-4), $$
$$-2<a-b<0.$$
в) $$ab$$
Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, получаем:
$$3\cdot 4<ab<4\cdot 5,$$
$$12<ab<20.$$
г) $$\frac{a}{b}$$
Из $$4<b<5$$ следует
$$\frac{1}{5}<\frac{1}{b}<\frac{1}{4}.$$
Умножим на положительное число $$a$$, причём $$3<a<4$$:
$$ 3\cdot \frac{1}{5}<\frac{a}{b}<4\cdot \frac{1}{4}, $$
$$\frac{3}{5}<\frac{a}{b}<1.$$
Ответ
Если $$a+b+c=0$$, то один из корней уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равен $$1$$.
а) $$x=1,\ \frac{39}{2}$$; б) $$x=1,\ -\frac{260}{17}$$.
а) $$7<a+b<9$$; б) $$-2<a-b<0$$; в) $$12<ab<20$$; г) $$\frac{3}{5}<\frac{a}{b}<1$$.
