Упр.767 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) если а2 > b2, то а3 > b3;
б) если а3 > b3, то а2 > b2?

Рассмотрим уравнение

$$12x^2+70x+a^2+1=0.$$

Разделим обе части на $$12$$:

$$x^2+\frac{70}{12}x+\frac{a^2+1}{12}=0.$$

По теореме Виета для его корней $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем:

$$x_1+x_2=-\frac{70}{12}, \qquad x_1x_2=\frac{a^2+1}{12}.$$

Так как

$$-\frac{70}{12}<0,$$

то корни не могут быть оба положительными. Кроме того,

$$\frac{a^2+1}{12}>0,$$

значит, корни одного знака. Следовательно, оба корня отрицательные.

Итак, уравнение при любых значениях $$a$$ не имеет положительных корней.

Теперь рассмотрим утверждения для положительных чисел $$a$$ и $$b$$.

а) Если $$a^2>b^2,$$ то, так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ получаем $$a>b.$$ Тогда при возведении в третью степень знак неравенства сохраняется:

$$a^3>b^3.$$

Утверждение верно.

б) Если $$a^3>b^3,$$ то, поскольку $$a>0$$ и $$b>0,$$ имеем $$a>b.$$ Тогда при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется:

$$a^2>b^2.$$

Утверждение верно.

Ответ

Уравнение не имеет положительных корней. а) верно; б) верно.