Упр.763 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна $$866$$. Найдите эти числа.
2. Найдите значение многочлена $$x^2-4x+1$$ при $$x=\frac{1}{4};\ -3;\ 2-\sqrt{3}$$.

1) Пусть два последовательных нечётных натуральных числа равны $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

По условию:

$$(2n+3)^3-(2n+1)^3=866$$

Используем формулу разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Тогда

$$(2n+3-(2n+1))\big((2n+3)^2+(2n+3)(2n+1)+(2n+1)^2\big)=866$$

$$2\big((4n^2+12n+9)+(4n^2+8n+3)+(4n^2+4n+1)\big)=866$$

$$2(12n^2+24n+13)=866$$

$$12n^2+24n+13=433$$

$$12n^2+24n-420=0$$

$$n^2+2n-35=0$$

$$(n+7)(n-5)=0$$

$$n=-7 \text{ или } n=5$$

Так как числа натуральные, подходит только $$n=5$$. Тогда

$$2n+1=2\cdot 5+1=11,\qquad 2n+3=2\cdot 5+3=13$$

2) Найдём значение многочлена $$x^2-4x+1$$.

При $$x=\frac14$$:

$$\left(\frac14\right)^2-4\cdot\frac14+1=\frac1{16}-1+1=\frac1{16}$$

При $$x=-3$$:

$$(-3)^2-4\cdot(-3)+1=9+12+1=22$$

При $$x=2-\sqrt3$$:

$$(2-\sqrt3)^2-4(2-\sqrt3)+1$$

$$=4-4\sqrt3+3-8+4\sqrt3+1=0$$

Ответ

$$11 \text{ и } 13; \quad \frac1{16}; \quad 22; \quad 0.$$