Упр.763 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа. Найдите значение многочлена х2 — 4х + 1 при х = 1/4; -3; 2 — корень 3.

1) Пусть два последовательных нечётных натуральных числа равны $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

По условию:

$$ (2n+3)^3-(2n+1)^3=866 $$

Используем формулу разности кубов:

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$

Тогда

$$ (2n+3-(2n+1))\big((2n+3)^2+(2n+3)(2n+1)+(2n+1)^2\big)=866 $$

$$ 2\big((4n^2+12n+9)+(4n^2+8n+3)+(4n^2+4n+1)\big)=866 $$

$$ 2(12n^2+24n+13)=866 $$

$$ 12n^2+24n+13=433 $$

$$ 12n^2+24n-420=0 $$

$$ n^2+2n-35=0 $$

$$ (n+7)(n-5)=0 $$

$$ n=-7 \text{ или } n=5 $$

Так как числа натуральные, подходит только $$n=5$$. Тогда

$$ 2n+1=2\cdot 5+1=11,\qquad 2n+3=2\cdot 5+3=13 $$

2) Найдём значение многочлена $$x^2-4x+1$$.

При $$x=\frac14$$:

$$ \left(\frac14\right)^2-4\cdot\frac14+1=\frac1{16}-1+1=\frac1{16} $$

При $$x=-3$$:

$$ (-3)^2-4\cdot(-3)+1=9+12+1=22 $$

При $$x=2-\sqrt3$$:

$$ (2-\sqrt3)^2-4(2-\sqrt3)+1 $$

$$ =4-4\sqrt3+3-8+4\sqrt3+1=0 $$

Ответ

$$11 \text{ и } 13; \quad \frac1{16}; \quad 22; \quad 0.$$