Упр.755 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
2. Известно, что $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ — положительные числа, причём $$a>b$$, $$da$$. Расположите в порядке возрастания числа $$\frac{1}{a}$$, $$\frac{1}{b}$$, $$\frac{1}{c}$$, $$\frac{1}{d}$$.

Пусть два последовательных натуральных числа равны $$n$$ и $$n+1$$.

По условию квадрат суммы этих чисел больше суммы их квадратов на $$112$$:

$$(n+(n+1))^2-(n^2+(n+1)^2)=112$$

Решим уравнение:

$$(2n+1)^2-\bigl(n^2+n^2+2n+1\bigr)=112$$

$$4n^2+4n+1-2n^2-2n-1=112$$

$$2n^2+2n-112=0$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$n^2+n-56=0$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 56=225,\quad \sqrt{D}=15$$

$$n=\frac{-1\pm 15}{2}$$

$$n_1=-8,\quad n_2=7$$

Так как числа натуральные, подходит только $$n=7$$. Тогда второе число:

$$n+1=8$$

Теперь расположим числа $$\frac1a,\frac1b,\frac1c,\frac1d$$ по возрастанию. Из условий $$a>b$$, $$d<b$$, $$c>a$$ и положительности чисел следует:

$$c>a>b>d$$

Для положительных чисел при большем знаменателе дробь меньше, значит:

$$\frac1c<\frac1a<\frac1b<\frac1d$$

Ответ

$$7,\ 8$$

$$\frac1c,\ \frac1a,\ \frac1b,\ \frac1d$$