Упр.749 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) х2 — 2х — 5 = 0;
б) х2 + 4х + 1 = 0;
в) 3у2 — 4у — 2 = 0;
г) 5у2 — 7y + 1 = 0;
д) 2у2 + 11у + 10 = 0;
е) 4х2 — 9х — 2 = 0. Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и b, если известно, что верны неравенства:
а) а — 3 > b — 3 и b > 4;
б) а-8 > b-8 и а< -12; в) 7а > 7b и b > 1/2;
г) -2а > -2b и b < -1/3?

1. а) $$x^2-2x-5=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=4+20=24$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{24}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2}=1\pm \sqrt{6}$$

   Проверка:

   $$x_1+x_2=(1+\sqrt{6})+(1-\sqrt{6})=2$$

   $$x_1x_2=(1+\sqrt{6})(1-\sqrt{6})=1-6=-5$$

2. б) $$x^2+4x+1=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$$

   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$$

   Проверка:

   $$x_1+x_2=(-2+\sqrt{3})+(-2-\sqrt{3})=-4$$

   $$x_1x_2=(-2+\sqrt{3})(-2-\sqrt{3})=4-3=1$$

3. в) $$3y^2-4y-2=0$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=16+24=40$$

   $$y_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{40}}{6}=\frac{4\pm 2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3}$$

   Проверка:

   $$y_1+y_2=\frac{2+\sqrt{10}}{3}+\frac{2-\sqrt{10}}{3}=\frac{4}{3}$$

   $$y_1y_2=\frac{(2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})}{9}=\frac{4-10}{9}=-\frac{2}{3}$$

4. г) $$5y^2-7y+1=0$$

   $$D=(-7)^2-4\cdot 5\cdot 1=49-20=29$$

   $$y_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10}$$

   Проверка:

   $$y_1+y_2=\frac{7+\sqrt{29}}{10}+\frac{7-\sqrt{29}}{10}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$$

   $$y_1y_2=\frac{(7+\sqrt{29})(7-\sqrt{29})}{100}=\frac{49-29}{100}=\frac{1}{5}$$

5. д) $$2y^2+11y+10=0$$

   $$D=11^2-4\cdot 2\cdot 10=121-80=41$$

   $$y_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4}$$

   Проверка:

   $$y_1+y_2=\frac{-11+\sqrt{41}}{4}+\frac{-11-\sqrt{41}}{4}=-\frac{22}{4}=-\frac{11}{2}$$

   $$y_1y_2=\frac{(-11+\sqrt{41})(-11-\sqrt{41})}{16}=\frac{121-41}{16}=5$$

6. е) $$4x^2-9x-2=0$$

   $$D=(-9)^2-4\cdot 4\cdot(-2)=81+32=113$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8}$$

   Проверка:

   $$x_1+x_2=\frac{9+\sqrt{113}}{8}+\frac{9-\sqrt{113}}{8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$$

   $$x_1x_2=\frac{(9+\sqrt{113})(9-\sqrt{113})}{64}=\frac{81-113}{64}=-\frac{1}{2}$$

Теперь определим знаки чисел.

1. а) $$a-3>b-3$$ и $$b>4$$

   Из $$a-3>b-3$$ получаем $$a>b$$. Так как $$b>4$$, то $$b>0$$, значит и $$a>0$$.

2. б) $$a-8>b-8$$ и $$a<-12$$

   Из $$a-8>b-8$$ получаем $$a>b$$. Так как $$a<-12$$, то $$a<0$$, а значит и $$b<0$$.

3. в) $$7a>7b$$ и $$b>\frac{1}{2}$$

   Так как $$7>0$$, то из неравенства $$7a>7b$$ следует $$a>b$$. Поскольку $$b>\frac{1}{2}$$, то $$b>0$$, значит и $$a>0$$.

4. г) $$-2a>-2b$$ и $$b<-\frac{1}{3}$$

   При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $$a<b$$. Так как $$b<-\frac{1}{3}$$, то $$b<0$$, значит и $$a<0$$.

Ответ

а) $$x=1\pm \sqrt{6}$$;
б) $$x=-2\pm \sqrt{3}$$;
в) $$y=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3}$$;
г) $$y=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10}$$;
д) $$y=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4}$$;
е) $$x=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8}$$.

а) $$a>0,\ b>0$$;
б) $$a<0,\ b<0$$;
в) $$a>0,\ b>0$$;
г) $$a<0,\ b<0$$.