Упр.740 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите относительно $$x$$ уравнение $$\left(a-1\right)x^2+2ax+a+1=0$$.
2. Что больше: $$a^3+b^3$$ или $$ab(a+b)$$, если $$a$$ и $$b$$ — неравные положительные числа?

Рассмотрим уравнение

$$(a-1)x^2+2ax+a+1=0.$$

1) Случай $$a=1$$.

Тогда уравнение принимает вид

$$2x+2=0,$$

откуда

$$x=-1.$$

2) Случай $$a\ne 1$$.

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=(2a)^2-4(a-1)(a+1)=4a^2-4(a^2-1)=4.$$

Тогда

$$x=\frac{-2a\pm 2}{2(a-1)}.$$

Получаем корни:

$$x_1=\frac{-2a-2}{2(a-1)}=-\frac{a+1}{a-1}, \qquad x_2=\frac{-2a+2}{2(a-1)}=-1.$$

Итак, при $$a\ne 1$$ уравнение имеет два корня:

$$x=-1 \quad \text{и} \quad x=-\frac{a+1}{a-1}.$$

Теперь сравним выражения $$a^3+b^3$$ и $$ab(a+b)$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$a\ne b$$.

Рассмотрим разность:

$$a^3+b^3-ab(a+b)=a^3+b^3-a^2b-ab^2.$$

Сгруппируем:

$$a^3-a^2b+ab^2-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)-ab(a+b).$$

Удобнее разложить так:

$$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$$

$$=(a+b)(a^2-2ab+b^2) =(a+b)(a-b)^2.$$

Так как $$a>0$$, $$b>0$$, то $$a+b>0$$, а при $$a\ne b$$ имеем $$(a-b)^2>0$$. Значит,

$$(a+b)(a-b)^2>0,$$

то есть

$$a^3+b^3>ab(a+b).$$

Ответ

$$\text{при } a=1:\ x=-1; \qquad \text{при } a\ne 1:\ x=-1,\ x=-\frac{a+1}{a-1}.$$

$$a^3+b^3>ab(a+b).$$