Упр.740 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

(а — 1)x2 + 2аx + а + 1 = 0. Что больше: а3 + b3 или ab(a + b), если а и b — неравные положительные числа?

Рассмотрим уравнение

$$ (a-1)x^2+2ax+a+1=0. $$

1) Случай $$a=1$$.

Тогда уравнение принимает вид

$$ 2x+2=0, $$

откуда

$$ x=-1. $$

2) Случай $$a\ne 1$$.

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D=(2a)^2-4(a-1)(a+1)=4a^2-4(a^2-1)=4. $$

Тогда

$$ x=\frac{-2a\pm 2}{2(a-1)}. $$

Получаем корни:

$$ x_1=\frac{-2a-2}{2(a-1)}=-\frac{a+1}{a-1}, \qquad x_2=\frac{-2a+2}{2(a-1)}=-1. $$

Итак, при $$a\ne 1$$ уравнение имеет два корня:

$$ x=-1 \quad \text{и} \quad x=-\frac{a+1}{a-1}. $$

Теперь сравним выражения $$a^3+b^3$$ и $$ab(a+b)$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$a\ne b$$.

Рассмотрим разность:

$$ a^3+b^3-ab(a+b)=a^3+b^3-a^2b-ab^2. $$

Сгруппируем:

$$ a^3-a^2b+ab^2-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)-ab(a+b). $$

Удобнее разложить так:

$$ a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b) $$

$$ =(a+b)(a^2-2ab+b^2) =(a+b)(a-b)^2. $$

Так как $$a>0$$, $$b>0$$, то $$a+b>0$$, а при $$a\ne b$$ имеем $$ (a-b)^2>0 $$. Значит,

$$ (a+b)(a-b)^2>0, $$

то есть

$$ a^3+b^3>ab(a+b). $$

Ответ

$$ \text{при } a=1:\ x=-1; \qquad \text{при } a\ne 1:\ x=-1,\ x=-\frac{a+1}{a-1}. $$

$$ a^3+b^3>ab(a+b). $$