Упр.739 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

x2 — ах + а — 3 = 0 принимает наименьшее значение, и найдите это значение. Докажите, что при а >= 0 и b >= 0 верно неравенство

Пусть корни уравнения $$x^2-ax+a-3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=a-3.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. $$

Подставим значения из формул Виета:

$$ x_1^2+x_2^2=a^2-2(a-3)=a^2-2a+6. $$

Приведём к виду полного квадрата:

$$ a^2-2a+6=(a-1)^2+5. $$

Так как $$ (a-1)^2 \ge 0 $$ при любых $$a$$, то наименьшее значение суммы квадратов равно $$5$$ и достигается при $$a=1$$.

Проверим условие существования корней: при $$a=1$$ дискриминант

$$ D=a^2-4(a-3)=1-4+12=9>0, $$

значит, корни действительно существуют.

Ответ

При $$a=1$$ сумма квадратов корней принимает наименьшее значение, равное $$5$$.