Упр.739 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Выясните, при каких значениях параметра $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2-a x+a-3=0$$ принимает наименьшее значение, и найдите это значение.
2. Докажите, что при $$a\geq 0$$ и $$b\geq 0$$ верно неравенство.

Пусть корни уравнения $$x^2-ax+a-3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=a-3.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим значения из формул Виета:

$$x_1^2+x_2^2=a^2-2(a-3)=a^2-2a+6.$$

Приведём к виду полного квадрата:

$$a^2-2a+6=(a-1)^2+5.$$

Так как $$(a-1)^2 \ge 0$$ при любых $$a$$, то наименьшее значение суммы квадратов равно $$5$$ и достигается при $$a=1$$.

Проверим условие существования корней: при $$a=1$$ дискриминант

$$D=a^2-4(a-3)=1-4+12=9>0,$$

значит, корни действительно существуют.

Ответ

При $$a=1$$ сумма квадратов корней принимает наименьшее значение, равное $$5$$.