Упр.738 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$t$$ имеет единственный корень уравнение:
а) $$3x^2+tx+3=0$$;
б) $$2x^2-tx+50=0$$;
в) $$tx^2-6x+1=0$$;
г) $$tx^2+x-2=0$$?
Для работы в парах.
Докажите, что если $$a$$ и $$b$$ — положительные числа и $$a^2>b^2$$, то $$a>b$$. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) $$\sqrt{6}+\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{7}+\sqrt{2}$$;
б) $$\sqrt{3}+2$$ и $$\sqrt{6}+1$$;
в) $$\sqrt{5}-2$$ и $$\sqrt{6}-\sqrt{3}$$;
г) $$\sqrt{10}-\sqrt{7}$$ и $$\sqrt{11}-\sqrt{6}$$.
1) Проведите доказательство приведённого утверждения.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.

Подробный ответ

Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то его дискриминант равен нулю: $$D=0.$$

$$3x^2+tx+3=0$$
$$D=t^2-4\cdot 3\cdot 3=t^2-36.$$
$$t^2-36=0 \Rightarrow t^2=36 \Rightarrow t=\pm 6.$$
$$2x^2-tx+50=0$$
$$D=t^2-4\cdot 2\cdot 50=t^2-400.$$
$$t^2-400=0 \Rightarrow t^2=400 \Rightarrow t=\pm 20.$$
$$tx^2-6x+1=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot t\cdot 1=36-4t.$$
$$36-4t=0 \Rightarrow 4t=36 \Rightarrow t=9.$$
$$tx^2+x-2=0$$
$$D=1-4\cdot t\cdot(-2)=1+8t.$$
$$1+8t=0 \Rightarrow 8t=-1 \Rightarrow t=-\frac18.$$

Докажем утверждение: если $$a>0,$$ $$b>0$$ и $$a^2>b^2,$$ то $$a>b.$$

Так как $$a^2-b^2>0,$$ то

$$(a-b)(a+b)>0.$$

Поскольку $$a>0$$ и $$b>0,$$ имеем $$a+b>0.$$ Значит, из произведения $$(a-b)(a+b)>0$$ следует $$a-b>0,$$ то есть $$a>b.$$

Теперь сравним выражения, возводя их в квадрат.

$$\sqrt6+\sqrt3$$ и $$\sqrt7+\sqrt2$$
$$(\sqrt6+\sqrt3)^2-(\sqrt7+\sqrt2)^2 =6+3+2\sqrt{18}-7-2-2\sqrt{14} =2\sqrt{18}-2\sqrt{14}>0.$$
Значит, $$\sqrt6+\sqrt3>\sqrt7+\sqrt2.$$
$$\sqrt3+2$$ и $$\sqrt6+1$$
$$(\sqrt3+2)^2-(\sqrt6+1)^2 =3+4\sqrt3+4-6-2\sqrt6-1 =4\sqrt3-2\sqrt6>0.$$
Значит, $$\sqrt3+2>\sqrt6+1.$$
$$\sqrt5-2$$ и $$\sqrt6-\sqrt3$$
$$(\sqrt5-2)^2-(\sqrt6-\sqrt3)^2 =5-4\sqrt5+4-6+2\sqrt{18}-3 =2\sqrt{18}-4\sqrt5>0.$$
Значит, $$\sqrt5-2>\sqrt6-\sqrt3.$$
$$\sqrt{10}-\sqrt7$$ и $$\sqrt{11}-\sqrt6$$
$$(\sqrt{10}-\sqrt7)^2-(\sqrt{11}-\sqrt6)^2 =10-2\sqrt{70}+7-11+2\sqrt{66}-6 =2\sqrt{66}-2\sqrt{70}<0.$$
Значит, $$\sqrt{10}-\sqrt7<\sqrt{11}-\sqrt6.$$