Упр.738 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 3×2 + tx + 3 = 0;
б) 2×2 — tx + 50 = 0;
в) tx2 — 6x + 1 = 0;
г) tx2 + х — 2 = 0? (Для работы в парах.) Докажите, что если а и b — положительные числа и а2 > b2, то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) корень 6 + корень 3 и корень 7 + корень 2;
б) корень 3 + 2 и корень 6 + 1;
в) корень 5 — 2 и корень 6 — корень 3;
г) корень 10 — корень 7 и корень 11- корень 6.
1) Проведите доказательство приведённого утверждения.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.

Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то его дискриминант равен нулю: $$D=0.$$

1. $$3x^2+tx+3=0$$

   $$D=t^2-4\cdot 3\cdot 3=t^2-36.$$

   $$t^2-36=0 \Rightarrow t^2=36 \Rightarrow t=\pm 6.$$

2. $$2x^2-tx+50=0$$

   $$D=t^2-4\cdot 2\cdot 50=t^2-400.$$

   $$t^2-400=0 \Rightarrow t^2=400 \Rightarrow t=\pm 20.$$

3. $$tx^2-6x+1=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot t\cdot 1=36-4t.$$

   $$36-4t=0 \Rightarrow 4t=36 \Rightarrow t=9.$$

4. $$tx^2+x-2=0$$

   $$D=1-4\cdot t\cdot(-2)=1+8t.$$

   $$1+8t=0 \Rightarrow 8t=-1 \Rightarrow t=-\frac18.$$

Докажем утверждение: если $$a>0,$$ $$b>0$$ и $$a^2>b^2,$$ то $$a>b.$$

Так как $$a^2-b^2>0,$$ то

$$ (a-b)(a+b)>0. $$

Поскольку $$a>0$$ и $$b>0,$$ имеем $$a+b>0.$$ Значит, из произведения $$ (a-b)(a+b)>0 $$ следует $$a-b>0,$$ то есть $$a>b.$$

Теперь сравним выражения, возводя их в квадрат.

1. $$\sqrt6+\sqrt3$$ и $$\sqrt7+\sqrt2$$

   $$ (\sqrt6+\sqrt3)^2-(\sqrt7+\sqrt2)^2 =6+3+2\sqrt{18}-7-2-2\sqrt{14} =2\sqrt{18}-2\sqrt{14}>0. $$

   Значит, $$\sqrt6+\sqrt3>\sqrt7+\sqrt2.$$

2. $$\sqrt3+2$$ и $$\sqrt6+1$$

   $$ (\sqrt3+2)^2-(\sqrt6+1)^2 =3+4\sqrt3+4-6-2\sqrt6-1 =4\sqrt3-2\sqrt6>0. $$

   Значит, $$\sqrt3+2>\sqrt6+1.$$

3. $$\sqrt5-2$$ и $$\sqrt6-\sqrt3$$

   $$ (\sqrt5-2)^2-(\sqrt6-\sqrt3)^2 =5-4\sqrt5+4-6+2\sqrt{18}-3 =2\sqrt{18}-4\sqrt5>0. $$

   Значит, $$\sqrt5-2>\sqrt6-\sqrt3.$$

4. $$\sqrt{10}-\sqrt7$$ и $$\sqrt{11}-\sqrt6$$

   $$ (\sqrt{10}-\sqrt7)^2-(\sqrt{11}-\sqrt6)^2 =10-2\sqrt{70}+7-11+2\sqrt{66}-6 =2\sqrt{66}-2\sqrt{70}<0. $$

   Значит, $$\sqrt{10}-\sqrt7<\sqrt{11}-\sqrt6.$$

Ответ

а) $$t=\pm 6$$; б) $$t=\pm 20$$; в) $$t=9$$; г) $$t=-\frac18$$.

$$\sqrt6+\sqrt3>\sqrt7+\sqrt2,$$ $$\sqrt3+2>\sqrt6+1,$$ $$\sqrt5-2>\sqrt6-\sqrt3,$$ $$\sqrt{10}-\sqrt7<\sqrt{11}-\sqrt6.$$