Упр.737 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) х2 — 5ах + 4а2 = 0;
б) 3х2 — 10ах + 3а2 = 0. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.
1. а2 > 2а — 3
2. а2 + 6 > 4а
3. 4а — 4 < а2 4. 8а - 70 < а2

Подробный ответ

Решим уравнение $$x^2-5ax+4a^2=0$$ относительно $$x$$.
Найдём дискриминант:
$$D=(5a)^2-4\cdot 1\cdot 4a^2=25a^2-16a^2=9a^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{5a\pm 3a}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{5a-3a}{2}=a,\qquad x_2=\frac{5a+3a}{2}=4a.$$
При $$a=0$$ имеем $$x=0$$.
Решим уравнение $$3x^2-10ax+3a^2=0$$ относительно $$x$$.
Найдём дискриминант:
$$D=(10a)^2-4\cdot 3\cdot 3a^2=100a^2-36a^2=64a^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{10a\pm 8a}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{10a-8a}{6}=\frac{a}{3},\qquad x_2=\frac{10a+8a}{6}=3a.$$
При $$a=0$$ имеем $$x=0$$.
Проверим неравенства.
1) $$a^2>2a-3$$
$$a^2-2a+3>0$$
$$\left(a-1\right)^2+2>0,$$
значит, верно при любом $$a$$.
2) $$a^2+6>4a$$
$$a^2-4a+6>0$$
$$\left(a-2\right)^2+2>0,$$
значит, верно при любом $$a$$.
3) $$4a-4<a^2$$
$$a^2-4a+4>0$$
$$\left(a-2\right)^2>0,$$
но при $$a=2$$ получаем $$0>0$$ — неверно.
4) $$8a-70<a^2$$
$$a^2-8a+70>0$$
$$\left(a-4\right)^2+54>0,$$
значит, верно при любом $$a$$.