Упр.736 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

2х2 — 4x + b = 0. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) а2 — 6а + 14 > 0;
б) b2 + 70 > 16b.

Решим уравнение $$2x^2-4x+b=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot b=16-8b.$$

Тогда по формуле корней квадратного уравнения

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8b}}{4}.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$b<2,$$ то $$16-8b>0,$$ и уравнение имеет два корня:

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8b}}{4}.$$

2) Если $$b=2,$$ то

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8\cdot 2}}{4}=\frac{4\pm 0}{4}=1.$$

3) Если $$b>2,$$ то $$16-8b<0,$$ значит, действительных корней нет.

Докажем неравенства, выделяя квадрат двучлена.

а)

$$a^2-6a+14=a^2-6a+9+5=(a-3)^2+5>0.$$

Так как $$\,(a-3)^2\ge 0,$$ то $$\,(a-3)^2+5>0.$$

б)

$$b^2+70-16b=b^2-16b+70=b^2-16b+64+6=(b-8)^2+6>0.$$

Следовательно,

$$b^2+70>16b.$$

Ответ

При $$b<2$$: $$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8b}}{4}.$$
При $$b=2$$: $$x=1.$$
При $$b>2$$ действительных корней нет.
$$a^2-6a+14>0,$$ $$b^2+70>16b.$$