Упр.734 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) py — p — 1 = 0;
б) ру — 3у — 4р + 12 = 0. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

а) Преобразуем уравнение:

$$py-p-1=0$$

$$py=p+1$$

Если $$p=0$$, то получаем $$-1=0$$ — неверно, значит, решений нет.

Если $$p\ne 0$$, то

$$y=\frac{p+1}{p}.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$py-3y-4p+12=0$$

$$y(p-3)-4(p-3)=0$$

$$ (p-3)(y-4)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

если $$p-3=0$$, то $$p=3$$ и тогда уравнение обращается в тождество $$0=0$$, значит, $$y$$ — любое число;

если $$p-3\ne 0$$, то $$y-4=0$$, откуда $$y=4$$.

Докажем, что сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше 2. Пусть $$a>0$$. Тогда

$$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2+1-2a}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}.$$

Так как $$a>0$$ и $$ (a-1)^2\ge 0$$, то

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0.$$

Следовательно,

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Ответ

а) При $$p\ne 0$$, $$y=\frac{p+1}{p}$$; при $$p=0$$ решений нет.

б) При $$p=3$$, $$y$$ — любое число; при $$p\ne 3$$, $$y=4$$.

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$ при $$a>0$$.