Упр.732 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) (20 — 3)(20 + 3); в) 102 · 98; д) 4 3/4 · 5 1/4;
б) (10 + 1/2)(10 — 1/2); г) 8,6 · 7,4; е) 2,7 · 3,3. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь a/b, где а и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь a/b. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один — для случая а < b, а другой — для случая а > b.
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
Используем формулу разности квадратов:
$$ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $$
$$ (20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391 $$
$$ \left(10+\frac12\right)\left(10-\frac12\right)=10^2-\left(\frac12\right)^2=100-\frac14=99\frac34 $$
$$ 102\cdot 98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2=10000-4=9996 $$
$$ 8{,}6\cdot 7{,}4=(8+0{,}6)(8-0{,}6)=8^2-0{,}6^2=64-0{,}36=63{,}64 $$
$$ 4\frac34\cdot 5\frac14=\left(5-\frac14\right)\left(5+\frac14\right)=5^2-\left(\frac14\right)^2=25-\frac1{16}=24\frac{15}{16} $$
$$ 2{,}7\cdot 3{,}3=(3-0{,}3)(3+0{,}3)=3^2-0{,}3^2=9-0{,}09=8{,}91 $$
Пусть дана дробь $$\frac{a}{b}$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.
1) Если $$a<b$$, то дробь увеличится.
Действительно, при $$a<b$$ имеем:
$$ \frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{b(b+1)}=\frac{b-a}{b(b+1)}>0 $$
Значит, $$\frac{a+1}{b+1}>\frac{a}{b}$$.
2) Если $$a>b$$, то дробь уменьшится.
Тогда:
$$ \frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{b(b+1)}=\frac{b-a}{b(b+1)}<0 $$
Значит, $$\frac{a+1}{b+1}<\frac{a}{b}$$.
Итак, при прибавлении по 1 к числителю и знаменателю:
- если $$a<b$$, дробь увеличивается;
- если $$a>b$$, дробь уменьшается.
Ответ
а) $$391$$; б) $$99\frac34$$; в) $$9996$$; г) $$63{,}64$$; д) $$24\frac{15}{16}$$; е) $$8{,}91$$. При $$a<b$$ дробь увеличится, при $$a>b$$ — уменьшится.
