Упр.731 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 4x^2 — 12x + 9; б) 1 — 14а + 49а^2; в) 25 + 4с^2 + 20с.
Докажите неравенство:
а) а(а + b) >= ab;
б) m2 — mn + n2 >= mn;
в) 10а2 — 5а + 1 >= а2 + а;
г) 2bс <= b2 + с2; д) а (а - b) >= b(а — b);
е) а2 — а <= 50а2 - 15а + 1.

а) Представим выражение в виде квадрата двучлена:

$$4x^2-12x+9=(2x-3)^2.$$

б)

$$1-14a+49a^2=49a^2-14a+1=(7a-1)^2.$$

в)

$$25+4c^2+20c=4c^2+20c+25=(2c+5)^2.$$

а)

$$a(a+b)\ge ab$$

$$a^2+ab\ge ab$$

$$a^2\ge 0.$$

б)

$$m^2-mn+n^2\ge mn$$

$$m^2-2mn+n^2\ge 0$$

$$\left(m-n\right)^2\ge 0.$$

в)

$$10a^2-5a+1\ge a^2+a$$

$$9a^2-6a+1\ge 0$$

$$\left(3a-1\right)^2\ge 0.$$

г)

$$2bc\le b^2+c^2$$

$$0\le b^2-2bc+c^2$$

$$0\le \left(b-c\right)^2.$$

д)

$$a(a-b)\ge b(a-b)$$

$$a^2-ab\ge ab-b^2$$

$$a^2-2ab+b^2\ge 0$$

$$\left(a-b\right)^2\ge 0.$$

е)

$$a^2-a\le 50a^2-15a+1$$

$$0\le 49a^2-14a+1$$

$$0\le \left(7a-1\right)^2.$$

Ответ

а) $$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$$; б) $$1-14a+49a^2=(7a-1)^2$$; в) $$25+4c^2+20c=(2c+5)^2$$.

Неравенства а)–е) верны, так как в каждом случае получаем неотрицательный квадрат.