Упр.728 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а); б) (7р - 1)(7р + 1) < 49р2; в) (а - 2)2 > а (а — 4);
г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а (а + 2).

Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, а ширина — $$b$$ см. Тогда по условию

$$2(a+b)=66,$$

а также

$$a=10b.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 2(a+b)=66,\\ a=10b. \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на $$2$$:

$$a+b=33.$$

Подставим $$a=10b$$:

$$10b+b=33,$$

$$11b=33,$$

$$b=3.$$

Тогда

$$a=10\cdot 3=30.$$

Значит, стороны прямоугольника: $$3$$ см и $$30$$ см.

Докажем неравенства.

а)

$$3(a+1)+a=3a+3+a=4a+3,$$

$$4(2+a)=8+4a=4a+8.$$

Так как $$4a+3<4a+8,$$ то

$$3(a+1)+a<4(2+a).$$

б)

$$ (7p-1)(7p+1)=49p^2-1. $$

Так как $$49p^2-1<49p^2,$$ то

$$ (7p-1)(7p+1)<49p^2.$$

в)

$$ (a-2)^2=a^2-4a+4, $$

$$ a(a-4)=a^2-4a. $$

Тогда

$$a^2-4a+4>a^2-4a,$$

значит,

$$ (a-2)^2>a(a-4).$$

г)

$$ (2a+3)(2a+1)=4a^2+2a+6a+3=4a^2+8a+3, $$

$$ 4a(a+2)=4a^2+8a. $$

Следовательно,

$$4a^2+8a+3>4a^2+8a,$$

то есть

$$ (2a+3)(2a+1)>4a(a+2).$$

Ответ

$$3\text{ см и }30\text{ см};$$ а) верно; б) верно; в) верно; г) верно.