Упр.726 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Даны выражения
3а (а + 6) и (3а + 6) (а + 4).
Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.

Пусть дачник шёл пешком со скоростью $$x$$ км/ч, а ехал на велосипеде со скоростью $$y$$ км/ч.

Тогда за $$2$$ ч пешком он прошёл $$2x$$ км, а за $$3$$ ч на велосипеде — $$3y$$ км. По условию:

$$2x+3y=46$$

Также известно, что на велосипеде он двигался в $$2{,}4$$ раза быстрее, чем пешком:

$$y=2{,}4x$$

Подставим это в первое уравнение:

$$ 2x+3\cdot 2{,}4x=46 \\ 2x+7{,}2x=46 \\ 9{,}2x=46 \\ x=5 $$

Тогда

$$y=2{,}4\cdot 5=12$$

Значит, дачник шёл со скоростью $$5$$ км/ч, а ехал на велосипеде со скоростью $$12$$ км/ч.

Теперь сравним выражения $$3a(a+6)$$ и $$(3a+6)(a+4)$$.

При $$a=-5$$:

$$ 3a(a+6)=3\cdot(-5)\cdot(-5+6)=-15 $$

$$ (3a+6)(a+4)=(3\cdot(-5)+6)(-5+4)=9 $$

Следовательно, $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.

При $$a=0$$:

$$ 3a(a+6)=3\cdot 0\cdot(0+6)=0 $$

$$ (3a+6)(a+4)=(3\cdot 0+6)(0+4)=24 $$

Следовательно, $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.

При $$a=40$$:

$$ 3a(a+6)=3\cdot 40\cdot(40+6)=5520 $$

$$ (3a+6)(a+4)=(3\cdot 40+6)(40+4)=5544 $$

Следовательно, $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.

Докажем неравенство для любого $$a$$:

$$ 3a(a+6)=3a^2+18a $$

$$ (3a+6)(a+4)=3a^2+12a+6a+24=3a^2+18a+24 $$

Тогда

$$ (3a+6)(a+4)-3a(a+6)=24>0 $$

Значит, при любом $$a$$ выполняется неравенство

$$ 3a(a+6)<(3a+6)(a+4). $$

Ответ

$$5$$ км/ч и $$12$$ км/ч; при $$a=-5,\,0,\,40$$ первое выражение меньше второго; при любом $$a$$ $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.