Упр.726 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Дачник проделал путь длиной $$46\ \text{км}$$. Он шёл $$2\ \text{ч}$$ пешком и $$3\ \text{ч}$$ ехал на велосипеде. На велосипеде он двигался в $$2{,}4$$ раза быстрее, чем пешком. С какой скоростью дачник шёл и с какой скоростью он ехал на велосипеде?
2. Даны выражения $$3a(a+6)$$ и $$(3a+6)(a+4)$$. Сравните их значения при $$a=-5$$; $$0$$; $$40$$. Докажите, что при любом $$a$$ значение первого выражения меньше значения второго.

Пусть дачник шёл пешком со скоростью $$x$$ км/ч, а ехал на велосипеде со скоростью $$y$$ км/ч.

Тогда за $$2$$ ч пешком он прошёл $$2x$$ км, а за $$3$$ ч на велосипеде — $$3y$$ км. По условию:

$$2x+3y=46$$

Также известно, что на велосипеде он двигался в $$2{,}4$$ раза быстрее, чем пешком:

$$y=2{,}4x$$

Подставим это в первое уравнение:

$$2x+3\cdot 2{,}4x=46 \\ 2x+7{,}2x=46 \\ 9{,}2x=46 \\ x=5$$

Тогда

$$y=2{,}4\cdot 5=12$$

Значит, дачник шёл со скоростью $$5$$ км/ч, а ехал на велосипеде со скоростью $$12$$ км/ч.

Теперь сравним выражения $$3a(a+6)$$ и $$(3a+6)(a+4)$$.

При $$a=-5$$:

$$3a(a+6)=3\cdot(-5)\cdot(-5+6)=-15$$

$$(3a+6)(a+4)=(3\cdot(-5)+6)(-5+4)=9$$

Следовательно, $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.

При $$a=0$$:

$$3a(a+6)=3\cdot 0\cdot(0+6)=0$$

$$(3a+6)(a+4)=(3\cdot 0+6)(0+4)=24$$

Следовательно, $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.

При $$a=40$$:

$$3a(a+6)=3\cdot 40\cdot(40+6)=5520$$

$$(3a+6)(a+4)=(3\cdot 40+6)(40+4)=5544$$

Следовательно, $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.

Докажем неравенство для любого $$a$$:

$$3a(a+6)=3a^2+18a$$

$$(3a+6)(a+4)=3a^2+12a+6a+24=3a^2+18a+24$$

Тогда

$$(3a+6)(a+4)-3a(a+6)=24>0$$

Значит, при любом $$a$$ выполняется неравенство

$$3a(a+6)<(3a+6)(a+4).$$

Ответ

$$5$$ км/ч и $$12$$ км/ч; при $$a=-5,\,0,\,40$$ первое выражение меньше второго; при любом $$a$$ $$3a(a+6)<(3a+6)(a+4)$$.