Упр.723 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Теплоход проходит за 4 ч по течению такое же расстояние, какое за 5 часов против течения. Найдите скорость течения, если она меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Пусть x мин — время, за которое первая копировальная машина может снять всю рукопись. Тогда производительность первой машины равна $$\frac{1}{x}$$, а производительность двух машин вместе — $$\frac{1}{6}$$.

Производительность второй машины:

$$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{x-6}{6x}.$$

По условию сначала одна машина снимает половину рукописи, затем другая — оставшуюся половину, и на это уходит $$12{,}5$$ мин. Составим уравнение:

$$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{6}-\frac{1}{x}}=12{,}5.$$

Подставим выражение для производительности второй машины:

$$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{6x}{x-6}=12{,}5.$$

Умножим на $$2(x-6)$$:

$$x(x-6)+6x=25(x-6).$$

$$x^2-6x+6x=25x-150.$$

$$x^2-25x+150=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25^2-4\cdot150=625-600=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{25\pm5}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=10,\quad x_2=15.$$

Значит, первая машина может снять всю рукопись за $$10$$ мин или за $$15$$ мин. Тогда вторая машина — соответственно за $$15$$ мин или за $$10$$ мин.

Ответ

$$10$$ мин и $$15$$ мин.