Упр.718 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) трёхчлен -х^2 — 2х + 168 принимает положительные значения;
б) трёхчлен 15х^2 + х — 2 принимает отрицательные значения;
в) дробь (x + 14)/(3 — 2x) принимает отрицательные значения;
г) дробь (6 — 5x)/(x + 25) принимает положительные значения? Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?

а) Рассмотрим трёхчлен $$y=-x^2-2x+168.$$ Его ветви направлены вниз. Найдём нули функции:

$$-x^2-2x+168=0$$
$$x^2+2x-168=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-168)=4+672=676=26^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 26}{2}$$
$$x_1=-14,\quad x_2=12.$$

Так как парабола направлена вниз, то трёхчлен принимает положительные значения между корнями:

$$x\in(-14;12).$$

б) Рассмотрим трёхчлен $$y=15x^2+x-2.$$ Его ветви направлены вверх. Найдём нули функции:

$$15x^2+x-2=0$$
$$D=1-4\cdot 15\cdot(-2)=1+120=121=11^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 11}{30}$$
$$x_1=-\frac{2}{5},\quad x_2=\frac{1}{3}.$$

Так как парабола направлена вверх, то трёхчлен принимает отрицательные значения между корнями:

$$x\in\left(-\frac{2}{5};\frac{1}{3}\right).$$

в) Дробь $$\frac{x+14}{3-2x}$$ отрицательна, если числитель и знаменатель разных знаков.

$$x+14>0,\quad 3-2x<0 \Rightarrow x>-14,\ x>\frac{3}{2}$$
$$x+14<0,\quad 3-2x>0 \Rightarrow x<-14,\ x<\frac{3}{2}$$

Подходят значения:

$$x\in(-\infty;-14)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right).$$

г) Дробь $$\frac{6-5x}{x+25}$$ положительна, если числитель и знаменатель одного знака.

$$6-5x>0,\quad x+25>0 \Rightarrow x<\frac{6}{5},\ x>-25$$
$$6-5x<0,\quad x+25<0 \Rightarrow x>\frac{6}{5},\ x<-25$$

Второй случай решений не имеет, поэтому:

$$x\in\left(-25;\frac{6}{5}\right).$$

Задача со сплавом. Пусть $$x$$ кг — первоначальная масса сплава. Тогда масса цинка в первом сплаве равна $$6$$ кг, а после добавления $$13$$ кг цинка масса сплава стала $$x+13$$ кг. Содержание меди понизилось на $$26\% = 0{,}26$$, значит:

$$\frac{6}{x}-\frac{6}{x+13}=0{,}26$$
$$\frac{6(x+13)-6x}{x(x+13)}=0{,}26$$
$$78=0{,}26x(x+13)$$
$$0{,}26x^2+3{,}38x-78=0$$
$$x^2+13x-300=0.$$

$$D=13^2-4\cdot 1\cdot(-300)=169+1200=1369=37^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-13\pm 37}{2}$$
$$x_1=-25,\quad x_2=12.$$

Отрицательное значение не подходит, значит первоначальная масса сплава равна $$12$$ кг.

Ответ

а) $$x\in(-14;12)$$;
б) $$x\in\left(-\frac{2}{5};\frac{1}{3}\right)$$;
в) $$x\in(-\infty;-14)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)$$;
г) $$x\in\left(-25;\frac{6}{5}\right)$$;
первоначальная масса сплава — $$12$$ кг.