Упр.716 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений: а) $$\begin{cases} y=x^3,\\ y=15x; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} xy=10,\\ y=x. \end{cases}$$
Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} y=x^3,\\ y=15x. \end{cases}$$

Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению

$$x^3=15x.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$x^3-15x=0 \\ x(x^2-15)=0.$$

Отсюда

$$x=0,\quad x=\pm\sqrt{15}.$$

Значит, система имеет три решения.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} xy=10,\\ y=x. \end{cases}$$

Подставим $$y=x$$ в первое уравнение:

$$x\cdot x=10 \\ x^2=10.$$

Тогда

$$x=\pm\sqrt{10}, \quad y=\pm\sqrt{10}.$$

Система имеет два решения.

в) Пусть по плану бригада должна была изготовлять $$x$$ пылесосов в день. Тогда весь заказ $$768$$ пылесосов она должна была выполнить за

$$\frac{768}{x}$$

дней. По условию первые 5 дней изготавливали по $$x$$ пылесосов в день, а затем — по $$x+6$$ пылесосов в день. За день до срока было изготовлено $$844$$ пылесоса, значит, до этого дня оставался ещё один день работы по плану.

Составим уравнение:

$$5x+\left(\frac{768}{x}-6\right)(x+6)=844.$$

Упростим:

$$5x+768-6x-36+\frac{4608}{x}=844$$

$$-x+\frac{4608}{x}=112$$

$$-x^2+4608=112x$$

$$x^2+112x-4608=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=112^2+4\cdot 4608=12544+18432=30976=176^2.$$

$$x=\frac{-112\pm176}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=32,\quad x_2=-144.$$